中国人民大学附属中学高考冲刺卷
数 学(理) 试 卷（一）
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一
项. 1、已知集合A??x?R0?x?3?，B?x?Rx2?4，则A?B? A. ?x2?x?3? B. ?x2?x?3? C. ?xx??2或2?x?3? D. R
2．已知数列?an?为等差数列，Sn是它的前n项和.若a1?2，S3?12，则S4? A．10 B．16 C．20 D．24
3. 在极坐标系下，已知圆C的方程为ρ?2cosθ，则下列各点在圆C上的是 A．?1,?????π??3???
B． ?1,?
???6??π?开始C．?2,3π?? 4?
D． ?2,5π?? 4?输入xn?1n?n?14．执行如图所示的程序框图，若输出x的值为23，则输入的x值为 A．0 B．1 C．2 D．11
5．已知平面????l，m是?内不同于l的直线，那么下列命题中错误的是 ．．A．若m//?，则m//l B．若m//l，则m//? C．若m??，则m?l D．若m?l，则m??
6. 已知非零向量a,b,c满足a?b?c?０，向量a,b的夹角为120?，且|b|?2|a|，则向量a与c的夹角为
A．60 B．90 C．120 D． 150
7.如果存在正整数?和实数?使得函数f(x)?cos2(?x??)（?，?为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么?的值为 A．1 B．2 C． 3 D. 4
????x?2x?1n≤3否是输出x结束22228．已知抛物线M：y=4x，圆N：(x?1)?y?r（其中r为常数，r?0）.过点（1，0）的直线
l交圆N于C、D两点，交抛物线M于A、B两点，且满足AC?BD的直线l只有三条的必要条件是
A．r?(0,1] B．r?(1,2] C．r?(,4) D．r?[,??)
2233y 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. 9．复数
3?i1?i12O1x? . 10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查
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数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为 . （用“?”连接）
频率频率 频率组距组距组距 0.00080.00080.0008 0.00060.00060.0006 0.00040.00040.0004 0.0002 0.00020.0002 O元OO100015002000250030003500100015002000250030003500元100015002000250030003500元 甲乙丙
11．如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B， D是CE与⊙O的交点.若?BAC?70?，则?CBE?______；若BE?2，CE?4，则CD? .
12.已知平面区域D?{(x,y)|?1?x?1,?1?y?1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y?kx（k?R）下方的概率为____________ .
AOCBDE13.若直线l被圆C:x2?y2?2所截的弦长不小于2，则在下列曲线中： ①y?x?2 ② (x?1)?y?1 ③
222x22?y?1 ④ x?y?1
222与直线l一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号） 14．如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D.设CP=x， △CPD的面积为f(x).
A则f(x)的定义域为 ； f'(x)的零点是 .
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15. （本小题共13分）
DCPB在?ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知tanB?(Ⅰ)求tanA； (Ⅱ)求?ABC的面积.
12，tanC?13，且c?1.
16. （本小题共14分）
在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE?EB,AD//EF，EF//BC， BC?2AD?4，EF?3，AE?BE?2，G是BC的中点． (Ⅰ) 求证：AB//平面DEG； (Ⅱ) 求证：BD?EG；
(Ⅲ) 求二面角C?DF?E的余弦值. B
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17. （本小题共13分）
某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为
23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.
(Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；
(Ⅱ) 随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.
18. （本小题共13分）
已知函数f(x)?x?alnx，g(x)??1?ax, (a?R).
（Ⅰ）若a?1，求函数f(x)的极值；
（Ⅱ）设函数h(x)?f(x)?g(x)，求函数h(x)的单调区间；
（Ⅲ）若在?1,e?（e?2.718...）上存在一点x0，使得f(x0)?g(x0)成立，求a的取值范围.
19. （本小题共14分）
31M(1,), 经过点其离心率为. ?1(a?b?0)2222ab （Ⅰ）求椭圆C的方程；
1(Ⅱ)设直线l:y?kx?m(|k|?)与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA,OB为邻边作平行四边形
2已知椭圆C:x2?y2OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点.求OP的取值范围.
20. （本小题共13分）
已知每项均是正整数的数列A：a1,a2,a3,?,an，其中等于i的项有ki个(i?1,2,3???)，
设bj?k1?k2???kj (j?1,2,3?)，g(m)?b1?b2???bm?nm(m?1,2,3???).
（Ⅰ）设数列A:1,2,1,4，求g(1),g(2),g(3),g(4),g(5)；
（Ⅱ）若数列A满足a1?a2???an?n?100，求函数g(m)的最小值.
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数学(理)试卷（一）参考答案
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A C D B B D
二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）
9.1?2i 10. s1>s2>s3 11. 70?； 3 12.
三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（共13分）
11tanB?tanC 解：（I）因为tanB?，tanC?,tan(B?C)?, ???????1分
1?tanBtanC2311? 代入得到，tan(B?C)?23?1 . ???????3分
111??23因为A?180??B?C , ???????4分 所以tanA?tan(180?(B?C))??tan(B?C)??1. ???????5分 （II）因为0??A?180?，由（I）结论可得：A?135? . ???????7分 因为tanB?所以sinB?由
asinA?12?tanC?13?0，所以0?C?B?90 . ????8分
??12 13. ① ③ 14. (2,4); 3
?55c,sinC?1010. ????9分
sinC得a?125， ???????11分 acsinB?12所以?ABC的面积为：. ??????13分
A16. （共14分）
解：(Ⅰ)证明：∵AD//EF,EF//BC， ∴AD//BC.
又∵BC?2AD,G是BC的中点， ∴AD//BG，
D ∴四边形ADGB是平行四边形，
∴ AB//DG. ?????2分
B ∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，
∴AB//平面DEG. ???????4分
(Ⅱ) 解法1
证明：∵EF?平面AEB，AE?平面AEB，
∴EF?AE， 又AE?EB,EB?EF?E，EB,EF?平面BCFE，
EHFGC ∴AE?平面BCFE. ?????????5分
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过D作DH//AE交EF于H，则DH?平面BCFE.
∵EG?平面BCFE， ∴DH?EG. ?????????6分 ∵AD//EF,DH//AE，∴四边形AEHD平行四边形， ∴EH?AD?2，
∴EH?BG?2，又EH//BG,EH?BE，
∴四边形BGHE为正方形，
∴BH?EG， ?????????7分
又BH?DH?H,BH?平面BHD，DH?平面BHD, ∴EG⊥平面BHD. ?????????8分 ∵BD?平面BHD,
∴BD?EG. ?????????9分 解法2
z∵EF?平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，∴
AEF?AE，EF?BE， 又AE?EB,
∴EB,EF,EA两两垂直. ????????5分 以点E为坐标原点，EB,EF,EA分别为x,y,z轴建立如图的空间直角坐标系.
由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0）， C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2）， G（2，2，0）. ??????????6分
????????∴EG?(2,2,0)，BD?(?2,2,2)，???7分
EDFyxBGC????????∴BD?EG??2?2?2?2?0, ???8分 ∴BD?EG. ??????????9分
????(Ⅲ)由已知得EB?(2,0,0)是平面EFDA的法向量. ??????????10分
????????设平面DCF的法向量为n?(x,y,z)，∵FD?(0,?1,2),FC?(2,1,0)，
????????y?2z?0?FD?n?0∴??????，即?，令z?1,得n?(?1,2,1). ??????????12分
2x?y?0???FC?n?0设二面角C?DF?E的大小为?，
?????26则cos??cos?n,EB??， ??????????13分 ??626∴二面角C?DF?E的余弦值为?66. ??????????14分
17. （共13分）
解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A ??????????1分
事件A等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ?????2分
p(A)?6103?4100?23?1315 ??????????4分
(Ⅱ) 由题可知X可能取值为0,1,2,3.
P(X?0)?C4C6C10C4C6C310123?13012,P(X?1)?C4C6C10C4C6C31003321?31016,
P(X?2)??,P(X?3)??. ??????8分
X 0 1 2 3 5
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