无穷级数复习题
一、是非题： 1.
???un?1n发散，不一定有limun?0。 是 2.若limun?0，则级数
n??n???un?1n收敛。非
3.收敛级数与发散级数的和是发散级数。是 4.若两个级数5.若级数
??a,?bnn?1n?1???n满足an?bn（n?1,2,?）,且
?bn?1?n收敛，则
?an?1?n收敛。非
?un收敛，则?|un|收敛。 非
n?1n?1?6.级数?1nn?1?是发是
7.若幂级数?anxn满足liman?0，则
n?1n???an?1?nxn的收敛半径为零。非
8.若f?x?可以展成幂级数
??an?0?nxn，则对于f?x?的定义域内的任一点x0，有
f?x0???anx0n。 非
n?09.?xn?1 (?1?x?1)。非 1?xn?110.若幂级数二、填空： 1.若级数
??an?0?nx的系数满足limnanan?1n??存在，则这个极限就是
?an?0?nxn的收敛半径。是
1?1?（ lima?收敛，则（ 0 ）。 2.常数项级数 ）。 n?an?nn???n?1n?132?3.常数项级数?(1?1)是（发散 ）级数。
nnn?12?4.级数?(?1)n?11的收敛范围是（ p?0 ）。
pnn?15.若已知幂级数（??6,12? ）.
?an?0?n???9,9的收敛域为，则幂级数的收敛域为ya(x?3)?nnnn?0?(?1)n?1n6.ln?1?x?的麦克劳林级数为（ ??x ），它的收敛域是
nn?1（ ?1?x?1 ）。
?三、选择题：
１．若常数项级数?an收敛，Sn是此级数的部分和，则必有（ Ｃ ）。
n?1? 1
Ａ．?an Ｂ．limSn?0 Ｃ．Sn有极限 Ｄ．Sn是单调的
n?1?n??２．若（ Ｄ ）成立，则级数
?an?1?n发散。
n??n?? Ａ． limSn?0 Ｂ．an单调上升 Ｃ．liman?0 Ｄ．liman不存在
n??３．下列级数中为条件收敛的级数是（ Ｄ ）
???? Ａ．???1?nn Ｂ．???1?nn Ｃ．?(?1)n1 Ｄ．?(?1)n1
n?1n?1n?1n?1n24．1???1?1?x?1?n成立的范围是（ Ｄ ）。
2?xn?03n Ａ．??1,1? Ｂ．??3,3? Ｃ．??4,2? 5．幂级数??(?1)nxn的和函数是（ Ｃ ）。
n?1 Ａ．
11?x Ｂ．?1?x1?x Ｃ．1?x 四、按题意计算：
１．判断下列级数的收敛性：
n（１）??n 比较审敛法，发散 limn?1?1n?1n?1n??1
n(n?1)2?（２）?n2en?1n 比值审敛法，收敛 limn?1en??n2?1e?1en（３）??cosn? cosn?(?1)n 条件收敛n?1nn?n ２．求幂级数的收敛域：
?（１） ?2nn ?n?1n?11?2x ??2,2??
2n?1an?1|?lim(n?1)21nlim??|ann??2n?2 R?2
n2x??1??2n1?n(?1)n2
n?1n2(?2)??n?1n2 收敛
2
n?1n??4,2?
Ｄ．11?x Ｄ． 1x?
2（２）?n?1?2n1n?1()??2 收敛 ?22n?1nn?1n?n?x?3?nn4 ?1?x?7
1令t?x?3 ，?n?1?a lim|n?1|?limn??n??ann4ntnn?14n?11? t?4
14n4nnn?? t??4，?(?4)??(?1) 收敛
n4nn?1nn?1
n??(4)1 发散 t?4， ???n4nn?1nn?1
?4?t?4，?4?x?3?4，?1?x?7
2n?1?x（３）? 比值审敛法 ?3,3 3nn?1n3??(?1)n2n?1３．求幂级数?（x?1)的和函数。 xn?12n?1?
(?1)n2n?1设S(x)??，求导 x2n?1n?1?
S?(x)??(?1)nx2n?2??1?x2?x4??
n?1?利用1?x?x?????
21 ?1?x?1 1?x1?x?x2?????
1 ?1?x?1 1?x1 ?1?x?1 21?x1 21?x1?x2?x4?????
?S?(x)??(?1)nx2n?2??1?x2?x4????n?1
3
积分 S(x)???x01dx??arctaxn ?1?x?1 21?x ４．将
1在x?0和x?2展开成泰勒级数。 x?211?在x?0处，
xn?(?1)n?1 ?2?x?2 ?1?nx?221?xn?022
在x?2处，
111?nx?2?4?1?(?x?2)?(?1)n(x?2)n?04n?1 4
4
?2?x?6