三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
121?cosx13、求极限lim(1?x)x?0
14、求函数z?tan???x???的全微分 y??15、求不定积分xlnxdx
??16、计算
??1?cos2?2sin?2?d?
17、求微分方程xy'?y?x2ex的通解.
?x?ln(1?t2)dyd2y18、已知?，求、. 2dxdx?y?t?arctant19、求函数f(x)?20、计算二重积分所围成的区域.
sin(x?1)的间断点并判断其类型.
x?12222D(1?x?y)dxdy，其中是第一象限内由圆x?y?2x及直线y?0??D四、综合题（本大题共3小题，第21小题9分，第22小题7分，第23小题8分，共24分） 21、设有抛物线y?4x?x，求：
（i）、抛物线上哪一点处的切线平行于X轴？写出该切线方程； （ii）、求由抛物线与其水平切线及Y轴所围平面图形的面积； （iii）、求该平面图形绕X轴旋转一周所成的旋转体的体积.
222、证明方程xe?2在区间?0,1?内有且仅有一个实根.
x23、要设计一个容积为V立方米的有盖圆形油桶,已知单位面积造价：侧面是底面的一半，而盖又是侧面的一半，问油桶的尺寸如何设计，可以使造价最低？
11
五、附加题（2000级考生必做，2001级考生不做） 24、将函数f(x)?1展开为x的幂级数，并指出收敛区间。（不考虑区间端点）（本小题4分） 4?x25、求微分方程y''?2y'?3y?3x?1的通解。（本小题6分）
2003年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、B 2、C 3、D 4、C 5、D 6、B 7、B 8、C 9、e?1 10、?1,??? 11、0
212、
?20dx?x3?x1f(x,y)dy 13、原式?lim[(1?x)x]x?0221x2?1?cosx?limex?0x212?x2?e2
214、dz?1xxx1?1?sec2dx?2sec2dy 15、x2?lnx???C yyy2?2?y0?sin?sin??216、原式??? d??d????1?cos2?01?cos2?22dytd2y1?t2?、2?17、y?x(e?c) 18、 dx2dx4tx?19、x?1是f(x)?sin(x?1)sin(x?1)sin(x?1)的间断点，lim，??1lim?1 ??x?1x?1x?1x?1x?1sin(x?1)的第一类跳跃间断点.
x?1?2202cos?x?1是f(x)?20、
??(1?x?y)dxdy??d??D20(1?r)dr??2?16 98??4?(4x?x)dx? ?322021、（i）切线方程：y?4；
（iii）Vx?V1?V2???4?2??2（ii）S??20(4x?x2)dx?224? 15x22、证明：令f(x)?xe?2，f(0)??2?0，f(1)?e?2?0，因为f(x)在?0,1?内连续，'x故f(x)在?0,1?内至少存在一个实数?，使得f(?)?0；又因为f(x)?e(1?x)在?0,1?内大于
零，所以f(x)在?0,1?内单调递增，所以在?0,1?内犹且仅有一个实根.
12
23、解：设圆柱形底面半径为r，高位h，侧面单位面积造价为l，则有
?V??r2h(1)? ?22ly??r?2l??r??2?rhl(2)?2?由（1）得h??2122V?V?代入（2）得：y??l?2r?2r??r?? ?r2??V?2V?25V2V2V?33h??，得：；此时圆柱高. r??0???2??5??4?5?r??23令y'??l?5r???所以当圆柱底面半径r?32V25V，高为h?3时造价最低. 5?4?24、解：f(x)??'122?3'''''，，，? f(x)?f(x)??(4?x)2(4?x)3(4?x)3f(n)(x)?(?1)nn!， n?1(4?x)f(0)?112'''(n)nn!，f(0)??2，f(0)?3，?，f(x)?(?1)n?1 4444n1112nxf(x)??2x?3x???(?1)n?1??， 4444收敛区间??4,4?
2?x3x25、解：对应特征方程??2??3?0，?1??1、?2?3，所以y?C1e?C2e，因为??0不是特征方程的根，设特解方程为y??b0x?b1，代入原方程，解得：y?C1e
?x?C2e3x?x?1. 3
2004年江苏省普通高校“专转本”统一考试
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高等数学
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
?x31、f(x)??3??xA、有界函数
x???3,0?，是： （ ）
x??0,2?B、奇函数
2C、偶函数 D、周期函数
2、当x?0时，x?sinx是关于x的 （ ） A、高阶无穷小
B、同阶但不是等价无穷小
C、低阶无穷小 D、等价无穷小
3、直线L与x轴平行且与曲线y?x?ex相切，则切点的坐标是 （ ） A、?1,1?
222B、??1,1?
22RC、?0,?1? D、?0,1?
4、x?y?8R设所围的面积为S，则?A、S
B、
08R2?x2dx的值为 （ ）
C、
S 4S 2D、2S
5、设u(x,y)?arctan、v(x,y)?lnxyx2?y2，则下列等式成立的是 （ ）
A、
?u?v? ?x?yB、
?u?v? ?x?x?C、
?u?v? ?y?xD、
?u?v? ?y?y6、微分方程y''?3y'?2y?xeA、Axe
2x2x的特解y的形式应为 （ ）
2xB、(Ax?B)e C、Axe22x
D、x(Ax?B)e2x
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
?2?x?f(x)? 7、设f(x)???，则limx??3?x??8、过点M(1,0,?2)且垂直于平面4x?2y?3z?x2的直线方程为
'9、设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?n)，n?N，则f(0)? 10、求不定积分
?arcsin3x1?x2dx? 14
11、交换二次积分的次序
??dx?012?xx2f(x,y)dy? (x?1)n12、幂级数?的收敛区间为 n2n?1三、解答题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分） 13、求函数f(x)?xx的间断点，并判断其类型. sinx.
14、求极限limx?0?(tant?sint)dt0(e?1)ln(1?3x)yx22d2y15、设函数y?y(x)由方程y?xe?1所确定，求
dx2ex'16、设f(x)的一个原函数为，计算?xf(2x)dx.
x17、计算广义积分
x?0的值.
???21xx?1dx.
?z?2z18、设z?f(x?y,xy)，且具有二阶连续的偏导数，求、.
?x?x?y19、计算二重积分
siny2Dy?x，其中由曲线及dxdyy?x所围成. ??yD1展开为x?2的幂级数，并写出它的收敛区间. x?220、把函数f(x)?四、综合题（本大题共3小题，每小题8分，满分24分）
21、证明：
??0xf(sinx)dx??2?0?f(sinx)dx，并利用此式求?x0?sinxdx.
1?cos2x22、设函数f(x)可导，且满足方程
?x0tf(t)dt?x2?1?f(x)，求f(x).
23、甲、乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管道的费用分别为每公里500、700元。问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管道的费用最省？
2004年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案
1、A 2、B 3、C 4、B 5、A 6、D 7、e
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