13.
9
2
【解析】由题意，两位数为 10，12，14，21，23，30，32，41，50，共 9 个，其个位数为 1 的为 21，41，故其个位数为 1 的概率为 ．
92
14. ?8,0
【解析】因为 ?1≤cos??≤1， 所以 ??? ?? =cos???5<0， 所以函数 ?? ?? 在 ?? 上单调递减，
因为 ??? ?? =cos???5 为偶函数及 ?? 0 =0 可得 ?? ?? 为奇函数，
由 ?? 1????? +?? 1?????2 <0 可得，?? 1????? ????2?1， 所以 ?? ??2+?? <2，
当 ??0 时，??2+??>0，则 ??
2
122
14
22 ??+ ?
12214，
??+ ?
>0，
所以 ??≤0，
当 ?1??2+??=当 ??=? 时， ??+ ? 有最小值，则
224所以 ??>?8，
当 ??2+??=0 时，恒成立， 综上所述 ?? 的取值范围为 ?8,0 ． 第三部分
15. （1） 当 ??=1 时，??1=??1=2???1，所以 ??1=1． 当 ??=2 时，??1+??2=??2=2×2???2，所以 ??2=．
23
7
1
12
1
2
1221422 ??+ ?
122
14
，
??+ ?
有最大值 ?8，
当 ??=3 时，??1+??2+??3=??3=2×3???3，所以 ??3=4． 当 ??=4 时，??1+??2+??3+??4=??4=2×4???4，所以 ??4= （2） 猜想 ????=
2???12???1158
．
??∈??? ．
2???12???1
证明：①当 ??=1 时，??1=1，结论成立．
②假设 ??=??（??≥1 且 ??∈??）时，结论成立，即 ????=那么当 ??=??+1 时，
????+1=????+1?????=2 ??+1 ?????+1?2??+????=2+?????????+1． 所以 2????+1=2+????， 所以 ????+1=
2+????2
?
，
=
2??+1?12??
，
这表明 ??=??+1 时，结论成立，
第6页（共11页）
由①②知猜想 ????=
2???12???1 ??∈??? 成立．
12
????
16. （1） 函数 ?? ?? =??ln??+????2+?? 的导函数为 ??? ?? =+????+1，
由 ?? ?? 在 ??1=1，??2=2 处取得极值，可得 ??? 1 =??+??+1=0，??? 2 =2??+2??+1=0， 解得 ??=?3，??=?3，
此时 ?? ?? =?ln?????2+??，??? ?? =?
3
6
2
1
23??
2
1
13
???1 ???2
3??
1
???+1=?10极小
1,2 +增
43
，
列出表格：
0,1 ??
??? ?? ??? ??
56
2
0极大
23
2,+∞ ? 减
减
所以，?? ?? 在 ??=1 取得极小值 ，在 ??=2 取得极大值 ?ln2． （2） 若函数 ?? ?? 在 1,?? 1 处的切线的斜率为 1， 则 ??? 1 =??+??+1=1，则 ??=???， 故 ?? ?? =??ln???2??2+??，
若 ?? ?? ???=??ln???2??2≤ ??+2 ?2??2+?? 成立， 则 ?? ???ln?? ≥??2?2?? 成立，
由 ??∈ 1,e ，可得 ln??≤1≤??，且等号不能同时取， 所以 ln??0， 因而 ??≥
??2?2?????ln??
??
1
??
??∈ 1,e ， ??∈ 1,e ，
令 ?? ?? =又 ??? ??
??2?2??
???ln??
???1 ??+2?2ln?? =， ???ln?? 2
当 ??∈ 1,e 时，???1≥0，ln??≤1，??+2?2ln??>0， 从而 ??? ?? ≥0（当且仅当 ??=1 时取等号）， 所以 ?? ?? 在 1,e 上为增函数， 故 ?? ?? 的最大值为 ?? e =则 ?? 的取值范围是
e2?2ee?1
e2?2ee?1
，
,+∞ ．
17. （1） 记事件 ??1= 从甲箱中摸出一个球是红球 ，事件 ??2= 从乙箱中摸出一个球是红球 ，事件 ??1= 顾客抽奖1次获一等奖 ，事件 ??2= 顾客抽奖1次获二等奖 ，事件
??= 顾客抽奖1次能获奖 ，由题意 ??1，??2 相互独立，??1??2，??2??1 互斥，??1，??2 互斥，且 ??1=??1??2，??2=??1??2+??2??1，??=??1+??2，因为 ?? ??1 =10=5，?? ??2 =10=2， 所以 ?? ??1 =?? ??1 ?? ??2 =5×2=5，
2
1
1
4
2
5
1
第7页（共11页）
?? ??2 =?? ??1??2 +?? ??2??1 =?? ??1 ?? ??2 +?? ??1 ?? ??2 2121=× 1? + 1? × 52521=,2故所求概率为：?? ?? =?? ??1+??2 =?? ??1 +?? ??2 =+=
5
21
1
710
．
1
（2） 顾客抽奖 1 次可视为 3 次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为：5，
01
所以 ??～?? 3,5 ．于是，?? ??=0 =C3 5 5 =125，?? ??=1 =C3 5 5 =125，?? ??=2 =32C3 5 5 =125，?? ??=3 =C3 5 5 =125．
12
41
12
1340
1
1
1043
64
1142
48
故 ?? 的分布列为：
????
．
18. （1） 由 ??? ?? =3????2?2??+??，
因为函数在 ??=3 时有极小值 ?9，
27???6+??=0,1
所以 从而解得 ??=，??=?3．
327???9+3??=?9,所求的 ?? ?? =??3???2?3??， 所以 ??? ?? =???2???3， 由 ??? ?? <0 解得 ?1
（2） 由 ??? ?? =??2?2???3，故 ?? ?? =??2?2???3+ 6???8 ??+4， 当 ??>0 时，若 ??>0，则 ?? ?? =????>0，满足条件； 若 ??=0，则 ?? 0 =1>0，满足条件； 若 ??<0，?? ?? <0， 所以 ?? ?? >0 恒成立， 6???8
因为 ??????+2≥4，当且仅当 ??=?1 取等号， 所以 6???8<4，
所以 0
所以 ??? ?? >?? ??ln???1 ?3???4 等价于 ??2+??+1>?? ??ln???1 ，即 ??+记 ?? ?? =??+
??+1??
??+1??
1
13
21
0123136448121?? ?? =3×= 55
125125125125+1???ln??>0，
+1???ln??，则 ??? ?? =
??+1 ??????1
??2
，
由 ??? ?? >0，得 ??>??+1，
所以 ?? ?? 在 0,??+1 上单调递减，在 ??+1,+∞ 上单调递增， 所以 ?? ?? ≥?? ??+1 =??+3???ln ??+1 ，
第8页（共11页）
所以 ?? ?? >0 对任意正实数 ?? 恒成立，等价于 ??+3???ln ??+1 >0 对任意正实数 ?? 恒成立，即 1+?ln ??+1 >0，
??3
记 ?? ?? =1+???ln ??+1 ， 因为 ?? ?? 在 0,+∞ 上单调递减，
又 ?? 4 =?ln5>0，?? 5 =?ln6<0，
4
5
7
8
3
所以 ??=1,2,3,4， 所以 ?? 的最大值为 4．
19. （1） 因为小矩形的面积等于频率，所以除 35,40 外的频率和为 0.70，所以
1?0.70??==0.06.
5所以 500 名志愿者中，年龄在 35,40 岁的人数为 0.06×5×500=150（人）．
（2） 用分层抽样的方法，从中选取 20 名，则其中年龄\低于 35 岁\的人有 12 名，\年龄不低于 35 岁\的人有 8 名．?? 的可能取值为 0，1，2，3．
3C814
?? ??=0 =3=,
C20285 故 ?? 的分布列为
????
14
28
44
11
012314284411 28595955717195
所以 ????=0×285+1×95+2×95+3×57=
1??
．
20. （1） 因为 ??? ?? =????+，所以 ??? 1 =??+1， 由 ??? 1 =?? ?1 ?2 可得 ??=???3． 又 ?? ?? 在 ??=所以 ??? =
2
2 2 处取得极值， 2 2??2
+ 2=0，
1
? 2??+1 ???1
??
所以 ??=?2，??=1，
所以 ?? ?? =???2+ln??+??，其定义域为 0,+∞ ，??? ?? =?2??+??+1=令 ??? ?? =0，得 ??=1，
当 ??∈ 0,1 时，??? ?? >0；当 ??∈ 1,+∞ 时，??? ?? <0；
所以函数 ?? ?? 在区间 0,1 上单调递增，在区间 1,+∞ 上单调递减． （2） 当 ??=0 时，?? ?? =ln??+????，其定义域为 0,+∞ ， ①由 ?? ?? =0 得 ??=?
ln????
ln????
，??∈ 0,+∞ ，
，记 ?? ?? =?
ln????
，
由题意得 ??=?? 与函数 ?? ?? =?又 ??? ?? =
ln???1??2 的图象有两个不同的交点，
，??∈ 0,+∞ ，
令 ??? ?? <0，且 ??>0，得 00，且 ??>0，得 ??>e； 所以 ?? ?? 在 0,e 上单调递减，在 e,+∞ 上单调递增； 所以当 ??=e 时，?? ?? 取得最小值 ?e，
1
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