2016年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷
（考试时间：2016年3月4日下午3：00—5：00）
班级：: 姓名： 成绩： 题 号 得 分 评卷人 复核人 考生注意：
1、本试卷共五道大题，全卷满分140分； 2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答； 3、解题书写不要超出装订线； 4、不能使用计算器。
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1、已知实数a、b满足|a?3|?|b?2|?1?a?a?3，则a?b等于（ ） A、?1
B、2 C、3 D、5
一 二 三 四 五 合计 2、如图，点D、E分别在?ABC的边AB、AC上，BE、CD相交于点F，设四边形EADF、?BDF、?BCF、?CEF的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1S3与S2S4的大小关系为（ ）
A、S1S3?S2S4 C、S1S3?S2S4
B、S1S3?S2S4
D、不能确定
A
C E
O1 B
B
D F C
O2 A 第2题图
O3 第2题图
3、对于任意实数a，b，c，d，有序实数对（a，b）与（c，d）之间的运算“?”定义为：
?a，b???c，d???ac?bd，ad?bc?.如果对于任意实数m，n都有?m，n???x，y???n，?m?，那么?x，y?为（ ）
A、（0，1）
B、（1，0）
C、（-1，0）
D、（0，-1）
4、如图，已知三个等圆⊙O1、⊙O2、⊙O3有公共点O，点A、B、C是这些圆的其他交点，
则点O一定是?ABC的（ ）
A、外心
B、内心 C、垂心
2 D、重心
5、已知关于x的方程?x?2??4|x?2|?k?0有四个根，则k的范围为（ ） A、?1?k?0
B、?4?k?0 C、0?k?1
D、0?k?4
6、设在一个宽度为w的小巷内搭梯子，梯子的脚位于P点，小巷两边的墙体垂直于水平的地面。将梯子的顶端放于一堵墙的Q点时，Q离开地面的高度为k，梯子的倾斜角为45?，将该梯子的顶端放于另一堵墙的R点时，R离开地面的高度为h，梯子的倾斜角为75?，则小巷的宽度w等于（ ）
A、h
B、k C、hk
D、
h?k 2二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 7、化简2?3?2?3的值为 ．
8、如果关于x的实系数一元二次方程x2?2?k?3?x?k2?3?0有两个实数根?、?，那么
???1?2????1?2的最小值是 ．
9、设四位数abcd满足10d3?1000a?100c?10d?b，则这样的四位数有 个． 10、如图，MN是⊙O的直径，MN?2，点A在⊙O上，?AMN?30?，B为AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA?PB的最小值为 ．
三、（本大题满分20分）
⌒a2?2b2?3c211、设实数a，b，c满足：abc?0且14?a?b?c???a?2b?3c?，求的值。
ab?ac?bc2222
M O P A N
四、（本大题满分25分）
12、已知抛物线y??x2?2?m?1?x?m?3与x轴相交于两点A、B（点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上），与y轴交于点C.
（1）求m的取值范围；
（2）若|OA|:|OB|?3:1，在该抛物线对称轴右边图像上求一点P的坐标，使得?PCO??BCO.
五、（本大题满分25分）
13、如图，等腰三角形ABC中，AB?AC，D，E分别在AB，AC边上，且AD?AE.P在AB的延长线上，QR分别在线段CE、DB上，且BP?CQ?DR，连结直线PQ与BC交于点L，QR与CD，BE分别交于点M，N.求证：
（1）PL?LQ； （2）MQ?NR
P B D R N M L
Q E A
2016年全国初中数学联赛初赛试卷
（考试时间：2016年3月13日下午3：00—5：00）
一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、C． 2、C． 3、D． 4、C． 5、B． 6、A． 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分） 7、6．?
8、18．
9、3．
10、2．?
三、（本大题满分20分）
11、解：由14(a2?b2?c2)?(a?2b?3c)2，
得13a2?10b2?5c2?4ab?6ac?12bc?0， ············································· （5分） 配方得(3a?c)2?(2a?b)2?(3b?2c)2?0， ············································· （10分） 所以3a?c?0，2a?b?0，3b?2c?0，
即c?3a，b?2a． ······································································· （15分）
a2?2b2?3c2代入得
ab?ac?bca2?2b2?3c2a2?8a2?27a236?2?． ··········································· （??分）?
ab?ac?bc2a?3a2?6a211解法二：由14(a2?b2?c2)?(a?2b?3c)2，
得13a2?10b2?5c2?4ab?6ac?12bc?0， ············································· （5分）
3a?6b3a?6b2(3a?6b)2225[c??()c???]?13a?10b?4ab???0，
5553a?6b2562142565(c?)?a?b?ab?0，
55552
所以5(c?
3a?6b214)?(2a?b)2?0， ··············································· （10分） 553a?6b?0，2a?b?0， 5由此得，c?
解得b?2a，c?3a． ···································································· （15分）
a2?2b2?3c2代入得
ab?ac?bca2?2b2?3c2a2?8a2?27a236?2?． ··········································· （??分）?
ab?ac?bc2a?3a2?6a211四、（本大题满分25分）
12、解：（1）由已知得，?x2?2(m?1)x?m?3??有两个不相同的实数解，?所以??[2(m?1)]??4(m?3)? 4m??12m?16?(2m?3)???3＞0，
可知m是任意实数． ································································· （5分） 又因为点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上． 所以方程，?x2?2(m?1)x?m?3??的两根一正一负，?所以? (m?3)＜0，解得m＞?3．
所以所求m的取值范围是m＞?3． ··············································· （10分） （2）解法一：设点A(a，0)，B(b，0)，a＞0，b＜0，