子球将相切。因为a=2r,V=a3,晶胞中包含1个原子，a为立方边的边长，则
4x?3?()2a3a3??6
（2）对体心立方晶体，任一原子有8个最近邻，体心的原子与8个顶角的原子球相切。因为晶胞空间对角线的长度为 3a?4r 3
43a3V=a,晶胞中包含2个原子，所以 2??()x?34a3?3?8（3）对面心立方晶体，任一原子有12个最近邻，顶角的原子与相邻的3个面心原子相
切。因为
2a?4r42a3 4??()2?343
?V=a,一个晶胞内含有4个原子，所以 x?3
（4）对六角密积结构，任一原子有12个最近邻，如果原子以刚性球堆积，第二层的一个原子将与第一层和第三层的原子相切，构成两个对顶的正四面体，第二层的这个原子在正四面体的顶角上。四面体的边长为a，高为 22c h?a?2r?332其中c为六角密积的高，
3202晶胞体积为 V?casin60?ca2a6 432??(a)一个晶胞中包含两个原子，所以 2x?3?2? 632ca
2
5）对金刚石结构，任一原子有4个最近邻中心在空间对角线四分之一处的原子与最靠近的顶角原子以及最靠近的三个面心原子相切， 3a?8r 因为
晶胞体积 3V?a 43a38??() 一个晶胞内包含8个原子，所以 3?38x??3 a16
七、证明倒格子矢量 Gh?h1b1?h2b2?h3b3垂直于密勒指数为（h1 h2 h3）的晶面系。
6
［证明］因为同一族晶面中的各晶面是互相平行的，要证明倒格矢Gh垂直于晶面族（h1h2h3），只须证明Gh垂直于这晶面族中最靠近原点的晶面上两相交矢量就可以了。
如图所示，设ABC为所述晶面，根据密勒指数的意义，它在a 1，a 2，a 3三个轴上的截距分别为a1/h1,a2/h2,a3/h3. Gh C B O A 而矢量 CA?OA?OC?a1a3h?
1h3 CB?OB?OC?a2a3h?2h
3 矢量CA和CB都在晶面ABC上，由倒格矢的性质容易明，
Gh?CA?(h1b1?h2b2?h3b3)?(a1h?a3)?0
1h3G(h)?(a2?a3h?CB?1b1?h2b2?h3b3h)?0
2h3 因此，Gh与ABC垂直，同时也垂直于整个晶面族。
八、对于简单立方晶格，证明密勒指数为（h,k,l）的晶面系，面间距d满足 2d2?a222其中a为立方边的边长。
h?k?l［解］设沿立方晶系晶轴a，b，c的单位矢量为I,j,k,则正格子基矢为
a?aib?ajc?ak
倒
格子
基矢
a*?2?2?aib*?ajc*?2?ak
与晶面族（hkl）正交的倒格矢为 Gh?ha*?kb*?lc*
为 7
2?d? 由面间距与倒格矢的关系式
|G|
h得 d2?a2
h2?k2?l27?￠?¤??à????§??μ??éμ?3￡éy??à?í§???100??0?20????00??2?￡ù¤???￡Yμ?ío??Dòèμ?3?E??μ????μD=￥?Eò????óíaé?í§??Dx?????xx?xy?xz????Ex???Dy????????D?yxyyyz??Ey??¨￡1￡|z???zx?zy??zz???E?z??Dà?????í§x??￡?￠2àéμ?3?D?x???y???ò￡?E￡?￡¨E￡?0?￡0￡|x (E) èò￡¨1￡|é?μ?Dx=￥?xxEzDy=￥?yxE(2) yDz=￥?zxE 8
à?é§????x???§?ˉ1800￡?é?y???§μ?￡ay?????ò￡?z???§?￡μaz???ò?￡D?¨???-ì?μ??§?ˉ￡??§?ˉ1óμ?μ?ío??ò?D’íéa?￡?óòD’?xxEx=￥D?ˉy=￡a￥?yxE(3)D?ˉz=￡a￥?zxEa·???§?ˉé?à????§??μ??o·??ó3?2×??,?§?ˉ??1ó§???2￠?oò?2éae,???§?ˉòè?óEí§??,μ?3??2?oò?·?a?,ò′?êμ?ío??é·à??íò￥2oa?,?′D?ˉ= D ¨(2)1?ì(3)é?′??è?èμ?￥?yx=-￥?yx￥?zx=-￥?zxò????yx= ￥￥?zx￡?0 ￡¨4￡|??????μ?3?ED?y???y?ò￡??o1óàé?§????y??§??ˉ1800￡??á?è???μ???áù￡?ò￥ò??xy=￥￥?zy=0 ￡¨5￡|???óz????ì?D?μ???áù￡?óòò??xz=￥￥?yz=0 ￡¨6￡| 9
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