题 目 广义逆矩阵及其应用 学 院
专 业 通信与信息系统 学 生 学 号
目 录
第一章 前言 ……………………………………………………………………… 1 第二章 广义逆矩阵 ……………………………………………………………… 2 §2.1 广义逆矩阵的定义 ……………………………………………………… 2 §2.2 广义逆矩阵的性质 ……………………………………………………… 3 第三章 广义逆矩阵的计算……………………………………………………… 12 §3.1 一般广义逆求解………………………………………………………… 12 §3.2 Moore-Penrose 广义逆………………………………………………… 结论………………………………………………………………………………
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第一章 前言
线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。
广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小范数解。
逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。为此，人们提出了下述关于逆矩阵的推广：
（1）该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在； （2）它具有通常逆矩阵的一些性质；
（3）当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。 满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。
1903年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，他讨论了关于积分算子的一种广义逆。1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在1920年提出了任意矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。我国数学家曾远荣和美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955年，英国数学物理学家彭罗斯(Penrose)以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)等价的广义逆矩阵定义，因此通称为Moore-Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。现如今，Moore-Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。
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第二章 广义逆矩阵
§2.1 广义逆矩阵的定义
一、Penrose广义逆矩阵的定义
为了推广逆矩阵的概念，我们引进了广义逆矩阵的定义，下面给出广义逆矩阵的Moore-Penrose 定义。
定义2.1 设矩阵A?Cm?n，若矩阵X?Cn?m满足如下四个Penrose方程
AXA?A XAX?X
(AX)H?AX (XA)H?XA
（ⅰ） （ⅱ） （ⅲ） （ⅳ）
中的一部分或全部方程，则称X为A的一个广义逆矩阵。
若X只满足（ⅰ）式，则X成为A的一个{1}-逆，可记为A?1?，所有满足{1}-逆
1?。的X构成的集合记为A?若X满足四个方程中的第i,j,?,k个方程，则称X为A的
一个?i,j,?,k?-逆，记为A?i,j,?,k?，所有满足?i,j,?,k?-逆的X构成的集合记为
A?i,j,?,k?。
二、常见广义逆定义
按照广义逆定义，分别满足一个、两个、三个和四个方程的广义逆矩阵一共有
12341?，A?1,2?，A?1,3?，A?1,4?，A?C4?C4?C4?C41,2,3,4?。 =15类，其中常见的有A?定义2.2 设有复矩阵A?Cm?n。若有一个n?m复矩阵X存在，使下式成立，则称X为A的减号逆：
AXA?A (2.1)
当A?1存在时，显然A?1满足上式，可见减号逆X是普通逆矩阵A?1的推广；另外，由AXA?A得
(AXA)H?AH，
即
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AHXHAH?AH
可见，当X为A的一个减号逆时，XH就是AH的一个减号逆。 定义2.3 设复矩阵A?Cm?n，若有一个n?m矩阵X，满足：
AXA?A且XAX?X
称X为A的一个自反逆矩阵，记作为Ar?，Ar?满足Penrose方程的（ⅰ），（ⅱ）式，所以Ar??A{1,2}。
显然，自反广义逆为减号逆的子集。对矩阵X是矩阵A的?1?-逆，即X?A??若1, 矩阵A也是矩阵X的?1?-逆，即A?X??1， 则X为A的一个自反逆矩阵。
定义2.4 设复矩阵A?Cm?n，若有一个n?m矩阵X，满足：
AXA?A 及 (AX)H?AX，
则称X为A的最小二乘广义逆，记作Al? ，Al?满足Penrose方程的（ⅰ），（ⅲ）式，
?所以Am?A{1,3}。
最小二乘广义逆是用条件(AX)H?AX对减号逆进行约束后所得到的子集。 定义2.5 设复矩阵A?Cm?n，若有一个n?m矩阵X，满足：
AXA?A 及 (XA)H?XA，
??则称X为A的最小范数广义逆，记作Am ，Am满足Penrose方程的（ⅰ），（ⅳ）式，
所以Al??A{1,4}。
显然，最小范数广义逆也是减号逆的子集。
若X满足全部四个方程，则称X为A的Moore-Penrose广义逆矩阵，记为A?。
§2.2 广义逆矩阵的性质
将一个非零矩阵分解为一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积，是矩阵分解理论中的常见问题。特别是在广义逆矩阵的计算与研究中有着重要的应用。
定义2.6 设矩阵A?Crm?n（r＞0），如果存在一个列满秩矩阵F?Crm?r与一个行
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