高等数学统考试卷（20
－2004学年第二学期）
参改解答
1?4,7,?4?（漏“一”号扣一分） 9?yxdx?dy2222x?y 2．x?y
一、1．? 3．
?10dy?2?yyf(x?y)dx
7 4．2
5．y＝y0e
?kx
二、6．D 7．D 8．C 9．B 10．C
三、11．解法1．记 F(x,y,z)?G(x2?yz,y2?xz)
Fx?Gu?2x?zGv Fy?zGu?2yGv Fz?yGu??Gv
zG?2xGv?z?z??u2xGu?zGuyGu?xGv ?x??， ?yyGu?xGv?z?z (2y2?xz)?(2x2?yz)
?x?y1 ?(2y2?xz)(2xGu?zGv)?(2x2?yz)(zGu?2yGv)
?(yGu?xGv)1 ??(4xy?z2)(yGu?xGv)?z2?xy
(yGu?xGv)???? 解：将原方程两边同时对x、y求导(z=z(x,y))得
?z?z Gu(2x?y)?Gv(z?x)?0 （1）
?x?x?z?z)?Gv(y2?x?) 0 （2） Gu(z?y?y?y 联立（1）、（2）消去Gu、Gv得 ?z???z???z???z?? ?2x?y??2y?x???z?y??z?x?
?x???y???y???x???z?z?0 (2y2?xy)?(2x2?yz)?x?y 12．设三条移长分别为x,y,z，则长方体表面积为
求U=2xy+2zx+2yz，其中x+y+z=3a
fyfxfy?zz?xx?y??方法一：由 ??z得111?x?y?z 得x=y=z=a为所求唯一解
故当x=y=z=a时 u=6a2为所求条件最大值
方法二：作F(x,y,z,?)?2xy?2zx?2yz??(3a?x?y?z) Fx?2(y?z)???0 Fy?2(z?x)???0 Fz?2(y?x)??? 0 （一般不要求判定）判定法（亦是初等解法）
11?6xy?6yz?6zx) 6a2?u?(18a2?3u)?(2(x?y?z)23312222?(x?y)?(y?z)?(?zx)?0u?6a ?? ??3 且等号仅当x=y=z=a时或立，故x=y=z=a时u取得条件最大值u?6a2
? 13．记n1?{1,2,?2}
? n?{2x,2y,2z}?2{x,y,z}
?x?2y 令{x,y,z}//{2,1,?2}即?代入曲面方程
z??2y? (2y)2?y2＋(?2y)2?9 或 (-2,-1,2)
14．原式=?dx???aaa?a2?x22a2?x2 解科x=y=z=a（唯一解）
y??1所求点为(2,1,-2)
2ydy
a1??2a2?x2dx?2???a2??a2?a2
15．方法一：（投影法，柱面坐标法） 原式=??d?xy??DR2?x2?y2R?3R22zdz D:x?y? R2?x2?y2422
???(?R2?2RR2?x2?y2)d?xyD
(?R2?2R?R2?r2)?rdr00 ?3?2R312223/2R???R?2R(?(R?r) ?2???2? ?243??0????d???2?3R221?5?3?2???R4??R4(1?)???R438?12?8
方法二：截面法，用平行于xoy平面的平行平面截所给立体域截面积
R?2???(2Rz?z)0?z???D12S(z)??
R????(R2?z2)?z?RD2?2? 原式??2zdz??R20R20D1(z)2d?xy??R2zdz???d?xy
2D2RR ???2z(2Rz?z)dz??R??2z(R2?z2)dz
2?2?R?31?R?4??R2?212?1?1????R?R???1??R4? ?2??R?????????2??4?4?16????2??3?2?4?2???1315?5?1 ?2?R4??????2?R4?
12?1264864?
15．方法：（球面坐标法）
? 作锥面??将?分为?1及?2两部分
3 原式????2zdv????2zdv
?1?2??d??32sin?cos?d??????d???d????22sin?cos?d???000032??R22??2Rcos?0???2d?
?114453 ?2??sin?0R?2???2?2?sin?cos?d?
4323111?? ?2???R4?2??8??(??)?R4
44664??1?5?3 ?2?????R4??R4
12?1648??p?Q?x?2y??(u)?2y??y?2x??(u)?2y 17．?y?x2? 故积分与路径无关
??xd 选L1：x2?y2?52，从点A(5,0)到B(3,4) ydy x
?AB????[x?(5)?25?x2]dx?[?(5)?2x]xdx
L15353 ??(25?3x2)dx?25(3?5)?[53?33] ?48
亦可改选L2折线A(5,0), C(3,0), B(3,4)
?AB??9AC????x?(x2)dx??(y?(y2?9)?6y)dy
CB503425114?48 ???(u)du???(v)dv?3y2025292 (u?x2, 原式＝ ?v?9?y2)
18．作辅助?1:z?0
?(上)??＋??＋??＋
?1(下)?1(上)(?1??)外????1(上)??＝???(6x?2?y2?6y2?z2?6z2?x2)dv?0
????5(x2?y2?z2)dv
??d????2??2d? ?5??d???sin02002??RR 2???)2??5?2?R5
00?? 18．V???R?x?yd?xy?2??d???D20222Rcos?0R2?r2rdr
1R2?cosr2)3/0|d? ?2??2?(R2?03?2322??2?3 ?R??(1?sin?)d??R3???
033?23?|u(x)|u?1? 19．limn?1?lim()1?1?1?1
n??|u(x)|n??n?2n? 当|x|<|原级数绝对收敛，当|x|>|原级数发散
1 当x=1 Un(x)?当?＞1时原级数收敛 ?(n?1) 当??1时原级数发散
(?1n) 当x=－1 Un(?1)当?＞1时原级数绝对收敛 ?(n?1?) 当0＜??1时原级数条件收敛 当??0原级数发散
n! 20．记bn?n?0
nbn?1n limn?lim()?e
n??bn??nn?1 故R＝e
?3|?e 幂级数绝对收敛 当|x1|?|2 当x2?3?e 幂级数发散 21．(1?x)y?2?y?xe
2'x22dy2xx?y?e(*) dx1?x21?x2dy2xcy?0y?cy? 方法一：先解? 求得 122dx1?x1?x 解：标准化
改设y?u(x)y1(x) 代入方程（*） u?(x)? u?ex221x?e 1?x21?x2x22 u?(x)?xe
x22x22?c
x22ce ?221?x1?x2x 方法二：p(x)? 21?x 故得：y?
?2xdx 1?x21??ln(1?x2)?ln
1?x2??p(x)dx??p(x)dx12? e?1?x21?xx2????pdxx22e?(1?x)dx? y?e?c??21?x?????pdx e??1 ?(c?e2) 21?x 方法三：原方程为[(1?x2)y]??xe (1?x2)y?e y?x22x22x2?c
c?e 21?x
得r1?2,r2?3
x22 22．先解Y???5Y??6Y?0 由r2?5r?6?0 故知Y?C1e2x?C2e3x
再求 y???5y??6y?aeax的特解，y*
aeax 当a?2，a?3，y*?Aeax?2a?5a?6aeax 通解为y?c1e2x?c2e3x?2a?5a?62xe2x??2?e2x 当a=2，y*?A?e2x?2?2?5 通解y?c1e2x?c2e3x?2?e2x
3xe3x?3?e3x 当a=3 y*?A?e3x?2?3?5 通解y?c1e2x?c2e3x?3xe3x