“点差法”在解析几何中功能作用
安徽宿州二中，柏长胜
在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程. 这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围。下面从四个方面举例说明.
一、求直线方程或求点的轨迹方程
例1 抛物线x2=3y上的两点A、B的横坐标恰是关于x的方程x2+px+q=0，(常数p、q∈R)的两个实根，求直线AB的方程.
解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x12=3y1 ①；x12 +px1+q=0 ②； 由①、②两式相减，整理得px1+3y1+q=0 ③；
同理 px2 +3y2+q=0 ④.
∵③、④分别表示经过点A(x1,y1)、B(x2,y2)的直线，因为不共线的两点确定一条直线. ∴px+3y+q=0，即为所求的直线AB的方程.
例2 过椭圆x2＋4y2=16内一点P(1，1)作一直线l，使直线l被椭圆截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.
解：设弦的两端点为P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，则x12＋4y12=16，x22＋4y22=16，
两式相减，得(x1﹣x2)(x1＋x2)＋4(y1﹣y2)(y1+y2)=0，因为x1＋x2=2，y1+y2=2，kl =11
∴kl =﹣.故直线l的方程为y﹣1=﹣(x﹣1)，即x+4y﹣5=0.
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例3 已知椭圆x2+2y2=2及椭圆外一点(0，2)，过这点任意引直线与椭圆交于点A、B，求AB中点P
的轨迹方程.
解：设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，AB中点P的坐标为(x,y)，则 x12+2y12=2，x22+2y22=2，两式相减，得(x1﹣x2)(x1＋x2)+2(y1﹣y2)(y1+y2)=0，
y1﹣y2y﹣2y﹣2x
∵KAB==，且x1＋x2=2x，y1+y2=2y，∴=﹣，即x2+2y2﹣4y=0(椭圆内部分).
x1﹣x2xx2y二、求参数的取值范围。解决这类问题有两种思路：1，先求出直线斜率的变化范围进而求出参数的
取值范围；2 借助曲线方程中变量的取值范围求出参数的取值范围。
y1﹣y2
. x1﹣x2
????例4 已知平面上一定点C（-1，0）和一定直线l: x = -4, P为该平面上一动点，作PQ?l于Q，（ PQ ????????????+ 2PC）·（PQ- 2PC）=0，求（1）点P在什么曲线上？并求出该曲线方程；（2）点O为坐标原点，相
异的两点A，B在点P的轨迹上，若OA??OB?(1??)OC，求?的取值范围。
????????????????????????????????2????2解：（1）由（ PQ +2PC）·（PQ- 2PC）=0，得 PQ?4PC。 ????????设P点坐标为P（x, y）则有PQ=( -4 – x , 0 ), PC=( -1 – x , -y )
?(?4?x)?x22?0?4?(?1?x)?2?y??
x22?y2?1 即P点的轨迹在椭圆?y2?1上。
4343????????????????????（2）介绍点差法。设A(x1,y1)、B(x2,y2)，由OA??OB?(1??)OC，得CA??CB
∴(x1+?x2 ，y1+? y2)=（-1-?，0）? x1 =-1-?-? x2 ；y1=-? y2
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?2x14?2y13?1 ?2?1????x?2242?(?y2)32?1 ①；又?x242?y232?1
3?5?2????x2?4?(?y2)3??2 ②。由①、②两式相减，整理得x2?3?5?2?
1 ??2?x2?2 ??2??2 ?13???3 即?的取值范围为[，3]
3例5 求k的取值范围，使抛物线C：y2+2y﹣kx=0(k≠0)上存在关于直线l：y=x﹣1对称的两点.
解：设抛物线C上关于直线l对称的两点为P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，则 y12+2y1﹣kx1=0 ①，y22+2y2﹣kx2=0 ②，
y1﹣y2k
由两式相减，得 (y1﹣y2)(y1+y2)+2(y1﹣y2)﹣k(x1﹣x2)=0，∴=，
x1﹣x2y1+y2+2
y1﹣y2k
又∵P1P2的斜率为=﹣1，∴=﹣1，即y1+y2=﹣k﹣2,∴P1P2的中点的纵坐标为
y1+y2+2x1﹣x2k+2
y=﹣,
2
k
代入直线l：y=x﹣1，得 中点横坐标为为x=﹣.又由于P1P2的中点在抛物线C内，
2k+22k+2k22∴(﹣)+2(﹣)﹣k(﹣)<0，解得 ﹣3< k<3(k≠0).
2223322
∴k的取值范围是﹣3 33三、解答定值问题 y2x2 例6 在双曲线﹣=1的一支上不同三点，A、B(26,6)、C与焦点F(0，5)的距离成等差数列，求 1213证：线段AC的垂直平分线l经过一定点. 证明：设A(x1,y1)、C(x2,y2)，AC的中点M(x0,y0)，∵A、B、C与焦点F(0，5)的距离成等差数列，由y1+y2 焦半径公式，得 (ey1﹣a)+(ey2﹣a)=2(e×6﹣a)，解得 y1+y2=12,∴y0==6. 2 又13y12﹣12x12=156，13y22﹣12x22=156， 13(y1﹣y2)(y1+y2)﹣12(x1﹣x2)(x1＋x2)=0， ∴kAC= y1﹣y212(x1+x2)12×2x0213 ===x0,则AB垂直平分线l的斜率为k=﹣, x1﹣x213(y1+y2)13×2y0132x0 13132525∴l的方程为：y﹣6=﹣(x﹣x0)，即y=﹣x+.故直线l必过定点(0，). 2x02x022四、解证其它综合题 y2 例8 给定双曲线x﹣=1，过点B(1，1)能否作直线m，使m与所给的双曲线相交于Q1、Q2两点，且 2 2 B是线段Q1Q2的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在，说明理由. 解：设Q1 (x1,y1)、Q2(x2,y2)，则2x12﹣y12=2，2x22﹣y22=2， 两式相减，得2(x1﹣x2)(x1＋x2)﹣(y1﹣y2)(y1+y2)=0， ∵x1＋x2=2，y1+y2=2，∴4(x1﹣x2)﹣2(y1﹣y2)=0. 由于x1≠x2，∴KQ1Q2= y1﹣y2 =2，这时，直线的方程为y﹣1=2(x﹣1),即y=2x﹣1，将y=2x﹣1，代入x1﹣x2 双曲线方程得一元二次方程2x2﹣4x+3=0，此方程无实根，故满足题设的直线不存在. 第 2 页 共 2页