新课预习讲义
选修2－1：第二章§2.3双曲线（一）
§2.3.1双曲线及其标准方程
●学习目标
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2.掌握双曲线的标准方程．
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题. ●学习重点：
1.本节的重点是双曲线的定义，因此与双曲线定义有关的问题就成了考查的重点． 2.定义法、待定系数法求双曲线的标准方程，也是重点考查的． ●学习难点
1. 难点是双曲线的标准方程的推导．
2.在双曲线的定义的问题中会与三角函数、向量、不等式的内容相结合出现.
一、自学导航
●知识回顾：
复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？
复习2：椭圆的标准方程分哪两种不同形式？怎样区分？
2复习3：在椭圆的标准方程
xy2a2?b2?1中，a,b,c有何关系？若a?5,b?3，则c??
●预习教材：第52页——第55页的内容。 ●自主梳理：
1.双曲线的定义是_________________________________________________ 2.双曲线的标准方程是_____________________________________________ ●预习检测：
1．点F1，F2是两个定点，动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a(a为非负常数)，则动点P的轨迹是(A．两条射线 B．一条直线
C．双曲线 D．前三种情况都有可能
2．已知方程x224＋k－y
4－k＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是( )
A．－4
D．k>4或k<－4
x2y2x2y2
3．椭圆4＋a2＝1与双曲线a－2＝1有相同的焦点，则a的值是________．
4．求与双曲线x216－y2
4＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)的双曲线方程．
●问题与困惑：
1
)
二、互动探究
●问题探究：
探究1：把椭圆定义中的“和”字改成“差”字，所得的轨迹是什么曲线？
探究2：根据双曲线的定义，怎样导出双曲线的标准方程的？
探究3：双曲线的标准方程与椭圆的标准方程在形式上有什么区别？a、b、c之间的关系有何不同？
探究4：怎样区分焦点在不同位置的两类双曲线的方程？它与椭圆的区分方法有何不同？
●基础知识归纳： 1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这 叫做双曲线的焦点， 叫做双曲线的焦距．
反思（1）：设常数为2a ，为什么2a?F1F2？
2a?F1F22a?F1F2时，轨迹是 ； 时，轨迹 ．
反思（2）：双曲线的定义中，为什么要加“绝对值”三个字？没有“绝对值”三个字呢？ 2．双曲线的标准方程 标准方程 xa22焦点在x轴上 ?yb22焦点在y轴上 ya22?1(a?0,b?0) ?xb22?1(a?0,b?0) 焦点 a,b,c的关系 (?c,0),(c,0) c?a?b 222(0,?c),(0,c) 小结：双曲线的标准方程与椭圆的标准方程的区别： 1.焦点位置的判定：椭圆由分母常数的大小判定，双曲线由各项前面的符号判定
2222222. a、b、c之间的关系：椭圆是c?a?b，双曲线是c?a?b（记忆方法：椭圆的焦点在顶点
之内，所有c?a；双曲线焦点在顶点之外，所有c?a） ●典例导析：
题型一、求双曲线的标准方程
例1、根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点A(4，－3)，B?－3，5?；
?2?(2)c＝6，经过点(－5,2)，焦点在x轴上． [思路点拨]
1.找出两个定量条件和定位条件，由定量条件求a、b的值（注意应用c?a?b）；由定位条件确定焦点所在的位置.
2
222
2.常用待定系数法.
[题后感悟] 双曲线标准方程的求解步骤：
变式训练：
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上．
(2)a＝25，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上．
(3)焦点分别为F1(－10,0)、F2(10,0)，且经过点(35，－4)． 9
(4)焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，－42)和?，5?.
?4?
3
题型二、双曲线定义的应用
例2－1、已知定点F1(0，－4)，F2(0,4)，动点M满足|MF1|－|MF2|＝2a，当a＝3和a＝4时，点M的轨迹为( )
A．双曲线和一条直线 B．双曲线的一支和一条直线 C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支和一条射线
[题后感悟] 如何判断动点的轨迹？
(1)由已知条件，判断2a与|F1F2|的大小关系，大致确定动点的轨迹是双曲线或射线等； (2)再据|MF1|－|MF2|＝2a有无绝对值，准确确定动点轨迹的特征．
变式训练：
2－1.已知点F1(0，－13)，F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为 A．y＝0
x2y2
例2－2、若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点，P是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2
916的面积． [思路点拨]
B．y＝0(x≤－13或x≥13) C．x＝0(|y|≥13) D．以上都不对
[题后感悟]
在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用．其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算．在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用． 变式训练：
x22
2－2.设F1，F2是双曲线－y＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积．
4
（想一想：若改为“∠F1PF2＝60°”呢？）
4
题型三、求与双曲线相关的轨迹方程
2222
例3、求与两个定圆C1：x＋y＋10x－24＝0和C2：x＋y－10x＋24＝0都外切或者都内切的动圆的圆心的轨迹方程． [思路点拨]
[题后感悟] (1)本题是利用定义求动点的轨迹方程的，当判断出动点的轨迹是双曲线，且可求出a，b时，就可直接写出其标准方程，而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运算进行化简． (2)由于动点M到两定点C2，C1的距离的差的绝对值为常数，因此，其轨迹是双曲线． 变式训练：
4．如图所示，在△ABC中，已知|AB|＝42，且三内角A，B，C满足 2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．
[疑难解读]
1．双曲线定义中注意的三个问题
(1)注意定义中的条件2a＜|F1F2|不可缺少．
若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线； 若2a＞|F1F2|，则动点的轨迹不存在．
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