2004
一填空题（本题10分，每小题1分）
信息论是应用近代数理统计方法研究信息的传输、存储与处理的科学，故称为 1 ；1948年香农在贝尔杂志上发表了两篇有关的“通信的数学理论”文章，该文用 2 对信源的不确定性的度量，是衡量信息量大小的一个尺度；用 3 来度量两事件的依赖程度，表现在通信领域就是输入和输出两事件的相互的信息量，若把它取最大值，就是通信线路的 4 ，若把它取最小值，就是 5 ；无失真压缩的理论依据： 6 ，限失真压缩理论依据： 7 ；香农第一定理又称 8 编码定理，编码后的码符号信源尽可能为 11 ，使每个码符号平均所含的信息量达到 9 ，要做到无失真编码，变换每个信源符号平均所需最少的r元码元数就是信源的 10 （以r进制信息量单位测度）。
二 简答题 （本题40分，每小题5分）
1.简述最大离散熵定理。对于一个有m个符号的离散信源，其最大熵是多少？ 2.连续信源的绝对熵多大，你想到了什么？ 3.用一个实例说明你对信号、消息、信息的理解。
4.写出香农公式，并说明其物理意义。当信道带宽为5000Hz，信噪比为30dB时求信道容量。 5.解释下图阴影部分含义。
R(D)1R'(D)(实际)R(D（理论）)
1/2D
6.比较信息熵和（平均）互信息两个概念的异同之处及相互关系。
7.解释等长信源编码定理和无失真变长信源编码定理，说明对于等长码和变长码，最佳码的每符号平均码长最小为多少？编码效率最高可达多少？
8.分别说明信源的概率分布和信道转移概率对平均互信息的影响，说明平均互信息与信道容量的关系。
9.二元无记忆信源，有求：
（1）某一信源序列由100个二元符号组成，其中有m个“1”，求其自信息量？ （2）求100个符号构成的信源序列的熵。
10.求一一对应确定信道P1的信道容量： 三 计算题（本题40分，每小题10分）
1.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，求：
1） 黑色出现的概率为0.3，白色出现的概率为0.7。给出这个只有两个符号的信源X的数学模型。假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵
；
2） 假设黑白消息出现前后有关联，其依赖关系为：
，
，求其熵H∞；
，，
3） 比较H(X)和H∞的大小，并说明其物理含义。 2.二元对称信道如图。
1）若，，求和；
2）求该信道的信道容量和最佳输入分布。
3.信源空间为
试构造二元霍夫曼码，计算其平均码长和编码效率。
4.二元对称信道的信道矩阵为，信道传输速度为1500二元符号/秒，设信源为
等概率分布，信源消息序列共有13000个二元符号，问： 1）试计算能否在10秒内将信源消息序列无失真传送完？
2） 若信源概率分布为多长时间？
，求无失真传送以上信源消息序列至少需要
2003
一填空题（本题20分，每小题2分）
1、“通信的基本问题就是 1 ，这是数学家香农（Claude E.Shanon）在他的惊世之著《通信的数学理论》中的一句铭言。 2、信息论是研究通信科学的理论工具，故称为 2 ；1948年香农在贝尔杂志上发表了两篇有关的“通信的数学理论”文章，该文用 3 对信源的不确定性的度量，是衡量信息量大小的一个尺度；表现在通信领域里，发送端发送什么有一个不确定量，通过信道传输，接收端收到信息后，对发送端发送什么仍然存在一个不确定量，我们把这两个不确定量差值用
4 来度量，若把它取最大值，就是通信线路的 5 ，若把它取最小值，就是 6 ，它是限失真压缩的理论基础，它给出了在指定的 7 条件下，信源熵H(X)所能压缩的 8 ，但没有给出具体的压缩方法。
3、在香农第一定理里，用信源的 9 来衡量信源的有效性，它是无失真压缩的理论基础，它告诉了无失真压缩的极限，同时给出具体的压缩方法是： 10 。
二 简答题 用信息论的理论简单解释下列现象（本题20分，每小题5分） 1我们知道，“猫”(调制解调器的俗称)是在模拟链路上传输数字数据的设备，它可以在一
个音频电话线上传输二进制数据，并且没有太高的错误率。现在，我们上网用的“猫”的速度已可达到56Kbps了，但是，如果你用网络蚂蚁或其它软件从网上下载东西时，你会发现很多时候网络传输的速度都很低，远低于56Kbps（通常音频电话连接支持的频率范围为300Hz到3300Hz，而一般链路典型的信噪比是30dB）（摘自中新网）
2 一场颠峰对决的球赛总是激情四射，能把赛场气氛推到沸点，相反一场毫无悬念的球赛显得平淡乏味。
3 摘自美国国防部信息研究所研究员Jacob D. Bekenstein：
如果你问别人物理世界是由什么构成的，他很可能告诉你是“物质和能量”。但只要我们学过一点工程、生物和物理的话，就知道：只给汽车厂的机器人金属和塑料，它们不可能做出任何有用的东西，只有给它们下达如何焊接的指令它们才能组装出汽车。我们身体细胞中的核糖体拥有阿米诺酸组建模块和ATP合成为ADP过程中释放的能量，但如果没有细胞核中DNA所携带的信息，同样无法合成任何蛋白质。请对这段话做出结论：
4一个最古老的问题：已知12个球中有一个球的重量与其它球不同，其它球均等重。用无砝码的天平至少须称3次才能找出此球。
三 计算题（本题60分，每小题15分）
1、 从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7%，女性发病率为0.5%。（15分）
（1） 若问一位男士：“你是否是色盲？”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这
两个回答中各含多少信息量，从计算的结果得出一个什么结论
（2） 在第一问中，平均每个回答中含有多少信息量？
（3） 如果问一位女士，问她回答（是或否）前后不确定性各为多少？
2、黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，即信源X={黑，白}。设黑色出现的概率为P(黑) = 0.3，白色出现的概率为P(白) = 0.7。（15分） (1) 假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵H(X)； (2) 假设消息只与前一个消息有关联（一阶马尔科夫信源），其依赖关系为P(白/白) = 0.9，P(黑/白) = 0.1，P(白/黑) = 0.2，P(黑/黑) = 0.8，求信源的熵H2(X);
(3) 分别求上述两种信源的剩余度，比较H(X)和H2(X)的大小，并说明其物理含义。
3、有一个二元对称信道，其信道矩阵为??0.980.02??。设该信源以2000二元符号/秒的速
0.020.98??度传输输入符号。现有一消息序列共有14000个二元符号，并设P(0) = P(1) = 1/2，问从消息传输的角度来考虑，10秒钟内能否将这消息序列无失真的传递完？（15分）
4、离散无记忆信源 P(x1)=1/2； P(x2)=1/4； P(x3)=1/8； P(x4)=1/8；（15分）
(1) 计算对信源的逐个符号进行二元定长编码码长和编码效率；
(2) 对信源编二进制哈夫曼码，并计算平均码长和编码效率。 (3) 上面两种编码对应下面那种编码，并说明是什么编码。
信源 概率p
1/2 1/4 1/8 1/8
编码 Ⅰ
00
01 10 11
编码Ⅱ
0
0 1 10
编码Ⅲ
0
1 00 11
编码Ⅳ
0 10 110 111
编码Ⅴ
0 01 011 0111
U1 U2 U3 U4