当x变化时,f?(x),f(x)的变化情况如下表:
x f?(x) (??,?1) ?1 (?1,ln(?2a)) ln(?2a) (ln(?2a),??) ? ↗ 0 ? 0 ? ↗ f(x) 极大值 ↘ 极小值 所以函数f(x)在(?1,ln(?2a))上单调递减,在(??,?1)和
(ln(?2a),??)上单调递增.
1又因为f(?2)??2e2?4a?4a??2e2?0,f(?1)??a?,
ef(ln(?2a))?aln2(?2a)?0,f(0)?0.
111所以当a?(?,?)时,此时f(?1)??a??0,函数
e2ee零点;
f(x)有一个
1当a??时,此时f(?1)?0,函数f(x)有两个零点;
e111当a?(?,?)时,此时f(?1)??a??0,函数f(x)有三个零点.
2ee1④ 当ln(?2a)?0即a??时,显然函数f(x)有两个零点.
21综上所述,（1）a?(?,0)时,函数f(x)有一个零点;
e11（2）a?{?,?}时,函数f(x)有两个零点;
e211a?(?,?)时,函数f(x)有三个零点. （3）
2e【丰台二模】 （18）（本小题共13分）
已知函数f(x)?xcosx?ax?a，x?[0,（Ⅰ）当a?1时，求f(x)的单调区间； （Ⅱ）求证：f(x)有且仅有一个零点．
（Ⅰ）解：依题意 f?(x)?cosx?xsinx?a． …………………2分
π]，(a?0)． 2令 g(x)?cosx?xsinx?a，x?[0,]， 则 g?(x)??2sinx?xcosx?0．
π2所以g(x)在区间[0,]上单调递减．
因为 g(0)?1?a?0，所以 g(x)?0，即 f?(x)?0， …………………4
分
所以f(x)的单调递减区间是[0,
间． …………………5分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，g(x)在区间[0,]上单调递减，且g(0)?1?a，g()??π2π
]，没有单调递增区2
π2π?a． 2π2π
]上单调递减． 2ππ因为 f(0)?a?0，f()?a(1?)?0，
22当 a?1时，f(x)在[0,
所以f(x)有且仅有一个零点． …………………7分 当 ?调递增．
因为 f(0)?a?0，f()?a(1?)?0，
所以f(x)有且仅有一个零点． …………………9分
πππ?a?0，即a??时，g(x)?0，即 f?(x)?0，f(x)在[0,]上单
222π2π2πππ?a?1时，g(0)?1?a?0，g()???a?0， 222π所以存在x0?(0,)，使得g(x0)?0． ………………10分
2当 ?x，f?(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f?(x) f(x) (0,x0) + ↗ x0 0 极大值 ?(x0,) 2- ↘ 所以 f(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,)上单调递减．…………………11分 因为 f(0)?a，f()?a(1?π2π2π)，且a?0， 2所以 f(0)f()?a(1?)?0，所以f(x)有且仅有一个零点．………12分 综上所述，f(x)有且仅有一个零点． …………………13分
【昌平二模】 19．（本小题13分）
已知函数f(x)?ax2?ax?xex,a?1．
（I）若曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y?x，求a的值； (II) 证明：当x?0时，函数f(x)存在唯一的极小值点为x0，且?19．（共13分）
解：（I）因为f(x)?ax2?ax?xex，
得f?(x)?2ax?a?ex?xex，所以f?(0)?a?1． 因为曲线在点(0,f(0))处的切线方程为y?x，
所以f?(0)?a?1?1，即a?2． --------------------5分
(II) 设h(x)?2ax?a?ex?xex，则h?(x)?2a?2ex?xex?2a?(x?2)ex． 因为x?0，所以x?2?2，e?1. 又因为a?1,所以 h?(x)?0，
故h(x)?a(2x?1)?ex(1?x)在(??,0)上为增函数．
xπ22π21?x0?0． 211?1?0又因h(0)?a?1，h(?)??e2?0，由零点存在性定理，存在唯一的
221x0?(?,0)，有h(x0)?0．
2当x?(??,x0)时，h(x)?f?(x)?0，即f(x)在(??,x0)上为减函数， 当x?(x0,0)时，h(x)?f?(x)?0，即f(x)在(??,x0)上为增函数， 所以x0为函数f(x)的极小值点． --------------------13分
【顺义二模】
18.（本小题满分13分）
已知函数f(x)?e2x?mx,其中m?0.
（Ⅰ）当m??1时，求曲线y?f?x?在点?0,f?0??处的切线方程； （Ⅱ）若不等式f(x)?0在定义域内恒成立，求实数m的取值范围. 18. 解：（Ⅰ）当m??1时，f?x??e2x?x
∴f??x??2e2x?1--------------------------------------------2分 则f??0??1，又f?0??1----------------------------------------4分
∴曲线y?f?x?在点?0,f?0??处的切线方程为：y?x?1-----5分 （Ⅱ）函数f?x?定义域为???,???，且f??x??2e2x?m?m?0?-------6分 下面对实数m进行讨论：
①当m?0时，f?x??e2x?0恒成立，满足条件------------------------------7分 ②当m?0时，由f??x??0解得x?1?m?ln???，从而知 2?2?函数f?x?在???1?m???1?m????内递增；同理函数在内递减， fxln???,??????,ln???????2?2???2?2???m??m??1?m?ln???处取得最小值?ln????1? ------------10分 2?2?2??2?? -------------------9分 因此f?x?在x? ∴
m??m??ln????1??0， ?2??2??解得?2e?m?0--------------------------------12分
综上：当m???2e,0?时，不等式f?x??0在定义域???,???内恒成立.---13分
【房山二模】 (18)（本小题13分）
设函数f(x)?x?k?lnx?，（k为常数），g?x??11?f?x?．曲线y?f?x?在点xx?1,f?1??处的切线与x轴平行.
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求g?x?的单调区间和最小值； （Ⅲ）若g(a)?g(x)?1对任意x?0恒成立，求实数a的取值范围． a（19）解：（Ⅰ）f(x)?x?k?lnx?
f'(x)?k?lnx?1,因为曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线与x轴平行 所以f'(x)?0,
所以k?1 …………5分 （Ⅱ）g?x??111?f?x???1?lnx，定义域为?xx?0? xxx1111x?1g'?x???f?x???2??2
xxxxx令g'?x??0得x?1，当x变化时，g'?x?和g?x?的变化如下表
x g'(x) ?0,1? － ↘ 1 ?1,??? ＋ ↗ 0 g(x) 0 由上表可知g?x?的单调递减区间为?0,1?，单调递增区间为?1,???， 最小值为g?1??0。 . …………… 10分 （Ⅲ）若g(a)?g(x)?11对任意x?0成立，则g(a)?g(x)min? aa即lna?1，解得0?a?e . …………… 13分