计算题型规范练(四)
建议用时：20分钟
1．(12分)如图所示，光滑水平轨道与半径为R的光滑竖直半圆轨道在B点平滑连接．在过圆心O的水平界面MN的下方分布有水平向右的匀强电场．已知半径为R的光滑竖直半圆轨道下半部分绝缘(可使小球的电荷量保持不变)，上半部分是导体(可使小球的电荷量迅速消失)，在C点设置一压力传感器．A、B两点间的距离为2R，图中P点恰好在A点的正上方，重力加速度为g.现有一个质量为m、电荷量为q的带正电小球(可视为质点)从水平轨道上的
A点由静止释放，小球运动到C点离开半圆轨道后，经界面MN上的P点进入电场．
(1)小球经过C点时压力传感器的读数为多少？
(2)小球在半圆轨道上运动到何处时速率最大？最大速率是多少？
解析：(1)小球离开C点后做平抛运动，根据平抛运动规律得2R＝vCt，(1分)
R＝gt2(1分)
设传感器对小球的压力为F，在C点，由牛顿第二定律得
12
v2CF＋mg＝m(1分)
R联立解得F＝mg.(1分)
因此小球经过C点时压力传感器的读数为mg. (2)小球从A到C由动能定理得
qE·3R－mg·2R＝mv2C(2分)
解得E＝mg/q.(1分)
1
2
设小球运动到圆周D点时速度最大为v，OD与竖直线OB夹角为α，小球从A运动到D的过程，根据动能定理得
1
qE(2R＋Rsin α)－mgR(1－cos α)＝mv2(2分)
即v＝2gR(sin α＋cos α＋1)
根据数学知识可得，当α＝45°时速率最大 由此可得最大速率vm＝
＋22
2
12
gR.(3分)
＋22
答案：(1)mg (2)α＝45°时 vm＝gR
2．(20分)如图所示的虚线PQ上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，S为磁场边界PQ上的点，两质量均为m、电荷量均为q的带负电粒子1和带正电粒子2分别以图示方向的速度从S点射入磁场，粒子1和粒子2的速度大小分别为v1＝v0、v2＝3v0，且α＝30°、β＝60°，经过一段时间两粒子同时到达磁场的边界．忽略两粒子的重力以及两粒子之间的相互作用．
(1)到达磁场边界时，粒子1和粒子2之间的距离为多少？ (2)粒子1和粒子2射入磁场的时间间隔为多少？
(3)如果在PQ下方的纸面内加一匀强电场，并且使粒子1在该电场中的轨迹为直线，经过一段时间的运动，两粒子在电场中相遇，求该电场的电场强度大小与方向．
解析：(1)两粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图所示
v2
根据牛顿第二定律有qvB＝m(2分)
r5π
粒子1圆周运动的圆心角θ1＝，SM＝2r1sin α(1分)
34π
粒子2圆周运动的圆心角θ2＝，SN＝2r2sin β(1分)
34mv0
联立得d＝SM＋SN＝(1分)
qB2πr2πm(2)粒子圆周运动的周期为T＝＝(2分)
vqBθ1
粒子1在匀强磁场中运动的时间为t1＝T(1分)
2πθ2
粒子2在匀强磁场中运动的时间为t2＝T(1分)
2π
2