郭硕鸿《电动力学》课后答案
第二章 静电场
1. 一个半径为R的电介质球，极化强度为P?Kr/r2，电容率为?。
（1）计算束缚电荷的体密度和面密度： （2）计算自由电荷体密度； （3）计算球外和球内的电势；
（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。 解：（1）?p????P??K??(r/r2)??K[(1/r2)??r?r??(1/r2)]??K/r2
?p??n?(P2?P1)?er?Pr?R?K/R （2）D内??0E?P?P?/(???0)
?f???D内????P/(???0)??K/(???0)r2
（3）E内?D内/??P/(???0)
?KRe 22r?04??0r?0(???0)r??KR ?外??E外?dr?r?0(???0)rR?KR??内??E内?dr??E外?dr?(ln?)
rR???0r?0E外?fD外???dVer?2R4?rdr11?K21?2K2R2?4?r2dr（4）W??D?EdV? ?2?22?R4022(???0)2?0(???0)rr?K2?2??R(1?)()
?0???02. 在均匀外电场中置入半径为R0的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的
电势：（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差?0； （2）导体球上带总电荷Q 解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场E0方向的轴线，取该轴线为
极轴，球心为原点建立球坐标系。
当R?R0时，电势?满足拉普拉斯方程，通解为
bn)Pn(cos?) n?1Rn因为无穷远处 E?E0，???0?E0Rcos???0?E0RP?) 1(cos所以 a0??0，a1??E0，an?0,(n?2) 当 R?R0时，???0
bn所以 ?0?E0R0P(cos?)?P(cos?)??0 ?1n?1nRn0???(anRn? 1/40
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2?0?b0/R0??0,b1/R0?E0R0
3所以 b0?R0(?0??0),b1?E0R0,bn?0,(n?2)即：
3??0?E0Rcos??R0(?0??0)/R?E0R0cos?/R2???(R?R0)??0（2）设球体待定电势为?0，同理可得
3??0?E0Rcos??R0(?0??0)/R?E0R0cos?/R2???(R?R0)??0当 R?R0时，由题意，金属球带电量Q
(R?R0)(R?R0)
Q????0???nR?R0dS??0?(E0cos???0??02?2E0cos?)R0sin?d?d? R0?4??0R0(?0??0)
所以 (?0??0)?Q/4??0R0
3??0?E0Rcos??Q/4??0R?(E0R0/R2)cos?(R?R0)???
??Q/4??R(R?R)00?03. 均匀介质球的中心置一点电荷Qf，球的电容率为?，球外为真空，试用分离
变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。 提示：空间各点的电势是点电荷Qf的电势Qf/4??R与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加，后者满足拉普拉斯方程。
解：（一）分离变量法
空间各点的电势是点电荷Qf的电势Qf/4??R与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加。设极化电荷产生的电势为??，它满足拉普拉斯方程。在球坐标系中解的形式为：
bn ）P（ncos?）n?1Rnd??? ?外（cnRn?nn?1）P（ncos?）Rn??0，?cn?0。 当R??时，?外?为有限，?bn?0。 当R?0时，?内????内（anRn?所以
??????anRnP ， ?外?内（ncos?）nndn P（ncos?）Rn?1由于球对称性，电势只与R有关，所以
an?0,(n?1) dn?0,(n?1)
??d0/R ??a0， ?外?内所以空间各点电势可写成?内?a0?Qf4??R
?外?d0R?Qf4??R
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当R?R0时，由
?内??外 得： a0?d0/R0
Qf?0Qf?0d0Qf11??内??外??0由 ?得：??2，d0?(?) 22?n?n4??0?4?R04??R0R0则 a0?Qf4?R0?0?QfQf11所以 ?内? ?（?）4??R4?R0?0?QfQfQf11 ??外??（?）4??0R4??R4?R?0? （二）应用高斯定理
在球外，R>R0 ，由高斯定理得：?0E外?ds?Q总?Qf?Qp?Qf，（整个导体球的束缚电荷Qp?0），所以 E外???(11?)
?Qf4??0R2er ，积分后得：
?外??E外?dR??RRQf4??0R2dR?Qf4??0R
在球内，R E内??Qf4??R2R0Rer ，积分后得： ??内??E内?dR??E外?dR?R0Qf4??R?Qf4??R0?Qf4??0R 结果相同。 8. 半径为R0的导体球外充满均匀绝缘介质?，导体球接地，离球心为a处 （a >R0）置一点电荷Qf，试用分离变量法求空间各点电势，证明所得结果与电象法结果相同。 解：以球心为原点，以球心到点电荷的连线为极轴建立球坐标系。将空间各点电势看作由两部分迭加而成。一是介质中点电荷产生的电势 ?1?Qf/4??R2?a2?2Racos?， 二是球面上的感应电荷及极化面电荷产生的?2。后者在球内和球外分别满足拉普拉斯方程。考虑到对称性，?2与?无关。 由于R?0时，?2为有限值，所以球内的?2解的形式可以写成 ?i2??anRnPn(cos?) （1） n由于R??时，?2应趋于零，所以球外的?2解的形式可以写成 ?o2??nbnP(cos?) （2） n?1nR 3/40 郭硕鸿《电动力学》课后答案 由于 R2?a2?2Racos??(1/a)?(R/a)nPn(cos) n?1?(Qf/4??a)?(R/a)nPn(cos) （3） n当R?R0时，?内??1??i2 ?(Qf/4??a)?(R/a)nPn(cos)??anRnPn(cos?) （4） nn当R?R0时，?外??1??o2 ?(Qf/4??a)?(R/a)nPn(cos)??nnbnP(cos?) （5） n?1nR因为导体球接地，所以 ?内?0 （6） 00?外R??内R?0 （7） 将（6）代入（4）得: an??Qf/4??a将（8）（9）分别代入（4）（5）得: n?1 （8） 2n?1将（7）代入（5）并利用（8）式得: bn??QfR0/4??an?1 （9） ?内?0?外?14??[22(R?R0) （10） QfR?a?2Racos??R0QfaR?(R/a)?2RRcos?/a220220], (R?R0) （11） 用镜像法求解：设在球内r0处的像电荷为Q’。由对称性，Q’在球心与Qf的连线上，根据边界条件：球面上电势为0，可得：（解略） 2r0?R0/a， Q'??R0Qf/a 所以空间的电势为 QfR0Qf1QfQ'1?外?(?)?[?] (R?R0) 4??r1r24??R2?a2?2Racos?aR2?(R02/a)2?2RR02cos?/a9. 接地的空心导体球的内外半径为R1和R2，在球内离球心为a处(a 解：假设可以用球外一个假想电荷Q'代替球内表 面上感应电荷对空间电场的作用，空心导体球接地，球外表面电量为零，由对称性，Q'应在球心与Q的连线上。 考虑球内表面上任一点P，边界条件要求： Q/R?Q'/R'?0 (1) OPR1QRR'Q'式R为Q到P的距离，R’为Q'到P的距离，因此，对球面上任一点，应有 R'/R??Q'/Q?常数 (2) 只要选择Q'的位置，使?OQ'P~?OPQ，则 4/40 郭硕鸿《电动力学》课后答案 R'/R?R1/a?常数 (3) 设Q'距球心为b，则b/R1?R1/a，即b?R12/a (4) 由（2）（3）两式得: Q'??R1Q/a 1QR1Q/a??[?] 2224224??0R?a?2Racos?R?R1/a?2R1Rcos?/a导体内电场为零，由高斯定理可知球面上的感应电荷为?Q，分布于内表面。 由于外表面没有电荷，且电势为零，所以从球表面到无穷远没有电场，?外?0。 12. 有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所 围成的直角空间内，它到两个平面的距离为a和b，求空间电 势。 ?Qzab解：用电像法，可以构造如图所示的三个象电荷来代替两导体板的作用。 (x0,?a,b)Q(x0,a,b)??Q4??0[1(x?x0)2?(y?a)2?(z?b)2? ?Q(x0,?a,?b)y(x?x0)?(y?a)?(z?b)11??]222222(x?x0)?(y?a)?(z?b)(x?x0)?(y?a)?(z?b)?1222 ?Q(x0,a,?b),(y,z?0) 第六章 狭义相对论 2. 设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为,它们以相同速率v相对于某一参考系运动,但运动方向相反,且平行于尺子。求站在一根尺上测量另一根尺的长度。 解：根据相对论速度交换公式可得?'2系相对于?'1的速度大小是 v'?2v/(1?v2/c2) （1） ∴在?'1系中测量?'2系中静长为0 l的尺子的长度为 l?l01?v'2/c2 （2） 将（1）代入（2）即得： l?l0(1?v2/c2)/(1?v2/c2) （3） 此即是在?'1系中观测到的相对于?'2静止的尺子的长度。 6. 在坐标系?中，有两个物体都以速度u沿x轴运动，在?系看来，它们一直保持距离l不变，今有一观察者以速度v沿x轴运动，他看到这两个物体的距离是多少？ 解：根据题意，取固着于观察者上的参考系为?'系,又取固着于A B两物体的参考系为?\系. 在?中,A B以速度 u 沿 x 轴运动,相距为l；在?\系中,A B静止相距为l 0，有： l?l01?u2/c2 5/40