一、填空题
1．在△ABC中，已知A＝45°，B＝60°，a＝6，则b＝________. 答案：36
2．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，且a＋b＋c＝15，则a＝________，b＝________，c＝________ .
解析：由sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，知a∶b∶c＝4∶5∶6，令a＝4k，b＝5k，c＝6k代入，求得k＝1. 答案：4 5 6
3．在△ABC中，一定成立的等式是__________． ①asinA＝bsinB ②acosA＝bcosB ③asinB＝bsinA ④acosB＝bcosA
解析：将a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC分别代入验证． 答案：③
4．设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB＝4，∠C＝45°，则R＝________.
AB
解析：∵c＝2RsinC，∴R＝＝22.
2sinC
答案：22
5．在△ABC中，已知3b＝23asinB，且cosB＝cosC，角A为锐角，则△ABC的形状是________．
b23a
解析：由3b＝23asinB，得＝. sinB3
ba
根据正弦定理，得＝，
sinBsinA
a23a3所以＝，即sinA＝.
sinA32又角A是锐角，所以A＝60°.
又cosB＝cosC，且B、C都为三角形的内角，所以B＝C. 故△ABC为等边三角形． 答案：等边三角形
6．在△ABC中，a＝1，b＝2，则角A的取值范围是________．
ab1
解析：由＝可得sinA＝sinB，
sinAsinB2
1
又因为0＜sinB≤1，所以0＜sinA≤.
2
所以0°＜A≤30°或150°≤A＜180°. 又因为A＜B，所以只有0°＜A≤30°. 答案：0°＜A≤30°
→→
7．在△ABC中，a＝23，b＝6，A＝30°，AB·BC＞0，则角C＝________. 答案：30°
8．在△ABC中，a＋b＝12，A＝60°，B＝45°，则a＝________，b＝__________.
ab6b6b
解析：由正弦定理＝，得asin45°＝bsin60°，即a＝.又a＋b＝12，将a＝代
sinAsinB22
入，得b＝126－24，a＝36－126. 答案：36－126 126－24
9．(2010年高考山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sin B＋cos B＝2，则角A的大小为________．
π
＋B?＝2， 解析：∵sin B＋cos B＝2sin??4?
π?∴sin??4＋B?＝1.
π
又0＜B＜π，∴B＝. 4
22×
21a sin B
由正弦定理，得sin A＝b＝＝. 22
π又a＜b，∴A＜B，∴A＝.
6
π答案：
6
二、解答题
cosAb4
10．在△ABC中，c＝10，＝＝，求a、b及△ABC的内切圆半径．
cosBa3b2RsinBsinB
解：由正弦定理，得a＝＝，
2RsinAsinA
cosAb4∵＝＝， cosBa3cosAsinB∴＝，且A≠B. cosBsinA
∴sinA cosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B，∴2A＋2B＝π.
π
∴A＋B＝.
2
∴△ABC是直角三角形，C为直角．
a2＋b2＝102，??由?b4解得a＝6，b＝8，
＝，??a3
a＋b－c6＋8－10
∴三角形的内切圆半径r＝＝＝2.
22
11．在△ABC中，已知AB＝l，∠C＝50°，当BC的长取得最大值时，求∠B的值． 解：由正弦定理知 lBC＝， sinCsin?180°－C－B?
lsin?130°－B?
所以BC＝. sin50°
当sin(130°－B)取得最大值1时，BC的长最大，所以130°－B＝90°，即B＝40°.
12．△ABC的三边各不相等，A，B，C的对边分别为a，b，c，并且acosA＝bcosB，求的取值范围．
解：∵acosA＝bcosB，∴sinAcosA＝sinBcosB， ∴sin2A＝sin2B.
a＋bc
π
∵2A,2B∈(0,2π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝.如果A＝B，则a＝b，不
2
a＋bπabπ
A＋?. 符合题意，∴A＋B＝，∴sinA＝c，cosA＝c，∴c＝sinA＋cosA＝2sin??4?2
πππ0，?且A≠， ∵a≠b，C＝，∴A∈??2?24
a＋b
∴c∈(1，2)．