圆锥曲线中的最值、定值、范围问题
一、圆锥曲线的最值问题 方法1：定义转化法
①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．
x2y2
例1、已知点F是双曲线4－12＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
方法2：数形结合（切线法）
当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．
x22
例2、求椭圆2＋y＝1上的点到直线y＝x＋23的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．
方法3：参数法（函数法）
① 选取合适的参数表示曲线上点的坐标； ②求解关于这个参数的函数最值
x22
例3、在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆3＋y＝1上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为________．
方法4：基本不等式法 ①将最值用变量表示．
②利用基本不等式求得表达式的最值．
x22
例4、求椭圆3＋y＝1内接矩形ABCD面积的最大值．
二、圆锥曲线的范围问题 方法1：曲线几何性质法
①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解．
x2y2
例1、已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线中
方法2：判别式法
当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零 ① 联立曲线方程，消元后求判别式；
②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解．
x2例2、在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆2＋y2＝1有两个不同的交点P和Q. (1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数m，使→＋OQ→与AB→共线？如果存在，求m值；如果不存在，请说明理由．
得向量OP
c的取值范围是________． a
三、圆锥曲线的定值、定点问题 方法1：特殊到一般法
根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题 ① 根据特殊情况确定出定值或定点；
②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明．
y2
例1、已知双曲线C：x－2＝1，过圆O：x2＋y2＝2上任意一点作圆的切线l，
2
若l交双曲线于A，B两点，证明：∠AOB的大小为定值．
方法2：引进参数法
定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点(或值)即是定点(或定值). ① 引进参数表示变化量；
②研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点
x2y2
例2、如图所示，曲线C1：9＋8＝1，曲线C2：y2＝4x，过曲线C1的右焦点F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C1，C2依次交于B，C，D，E四点．若|BE|·|GF2|
G为CD的中点、H为BE的中点，证明|CD|·
|HF|为定值．
2
例1
解析 如图所示，根据双曲线定义|PF|－|PF′|＝4， 即|PF|－4＝|PF′|.又|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5， 将|PF|－4＝|PF′|代入，得|PA|＋|PF|－4≥5， 即|PA|＋|PF|≥9，等号当且仅当A，P，F′三点共线， 即P为图中的点P0时成立，故|PF|＋|PA|的最小值为9.故填9.
例2、解 设椭圆的切线方程为y＝x＋b， 代入椭圆方程，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0. 由Δ＝(4b)2－4×3×(2b2－2)＝0，得b＝±3.
6
当b＝3时，直线y＝x＋3与y＝x＋23的距离d1＝2，将b＝3代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，解得x＝－
233
，此时y＝， 33
6?233??即椭圆上的点?－到直线y＝x＋23的距离最小，最小值是
2； 3，3??36
当b＝－3时，直线y＝x－3到直线y＝x＋23的距离d2＝2，将b＝－3代233
入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，解得x＝3，此时y＝－3，
36?233?
?到直线y＝x＋23的距离最大，最大值是即椭圆上的点?，－2. 3??3
?x＝3cos φx22
例3 因为椭圆3＋y＝1的参数方程为?(φ为参数)．
?y＝sin φ，故可设动点P的坐标为(3cos φ，sin φ)，其中0≤φ＜2π.
π?π?3?1?φ＋????因此S＝x＋y＝3cos φ＋sin φ＝2cos φ＋2sin φ＝2sin?3?，所以，当φ＝6?2?时，S取最大值2.故填2.
二、圆锥曲线的范围问题
例1解析 根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，设|PF2|＝r， 2a2a
则|PF1|＝4r，故3r＝2a，即r＝3，|PF2|＝3. 2ac55
根据双曲线的几何性质，|PF2|≥c－a，即3≥c－a，即a≤3，即e≤3.又e＞1， 5?5???1，1，???故双曲线的离心率e的取值范围是. 3?.故填?3???
例2 解 (1)由已知条件，知直线l的方程为y＝kx＋2，
x2?1?
代入椭圆方程，得2＋(kx＋2)2＝1，整理得?2＋k2?x2＋22kx＋1＝0.①
???1?
由直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，得Δ＝8k2－4?2＋k2?＝4k2－2＞0，
??22??2??2
解得k＜－2或k＞2，即k的取值范围为?－∞，－?∪?，＋∞?.
2??2??→＋OQ→＝(x＋x，y＋y)．
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP121242k由方程①，知x1＋x2＝－.②
1＋2k222
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋22＝.③
1＋2k2→＝(－2，1)．
由A(2，0)，B(0,1)，得AB
→＋OQ→与AB→共线等价于x＋x＝－2(y＋y)， 所以OP1212222将②③代入，解得k＝2.由(1)知k＜－2或k＞2， 故不存在符合题意的常数k.
三、圆锥曲线的定值、定点问题
例1证明 当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝±2. 当x＝2时，代入双曲线方程，得y＝±2， 即A(2，2)，B(2，－2)，此时∠AOB＝90°， 同理，当x＝－2时，∠AOB＝90°.
当切线的斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋b，则
|b|
即b2＝2(1＋k2)． 2＝2，1＋k
由直线方程和双曲线方程消掉y，得(2－k2)x2－2kbx－(b2＋2)＝0， 由直线l与双曲线交于A，B两点．故2－k2≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)． －?b2＋2?2kb
则x1＋x2＝，xx＝，
2－k2122－k2y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2 －k2b2－2k22k2b22b2－k2b22b2－2k2
＝＋＋＝，
2－k22－k22－k22－k2－b2－22b2－2k2b2－2?1＋k2?故x1x2＋y1y2＝＋＝，
2－k22－k22－k2→·→＝0，∠AOB＝90°
由于b2＝2(1＋k2)，故x1x2＋y1y2＝0，即OAOB. 综上可知，若l交双曲线于A，B两点，则∠AOB的大小为定值90°.
【例2】证明 由题意，知F1(－1,0)，F2(1,0)， 设B(x1，y1)，E(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)， x2y2
直线y＝k(x－1)，代入＋＝1，
98
?y?2
得8?k＋1?＋9y2－72＝0，即(8＋9k2)y2＋16ky－64k2＝0，
??16k64k2则y1＋y2＝－，yy＝－. 8＋9k2128＋9k2同理，将y＝k(x－1)代入y2＝4x，得ky2－4y－4k＝0， 4
则y3＋y4＝k，y3y4＝－4， 1
|y＋y|
|BE|·|GF2||y1－y2|234
所以|CD|· |HF2|＝|y3－y4|·1
2|y1＋y2|＝?y1－y2?2?y3＋y4?2·＝
?y1＋y2?2?y3－y4?2?y1＋y2?2－4y1y2?y3＋y4?2·
?y1＋y2?2?y3＋y4?2－4y3y4
＝?－16k?24×64k2?4?2
＋??8＋9k2?28＋9k2??k?
·4＝3为定值．
?－16k?2??2
?k?＋1622???8＋9k?