第11章 弹性平衡稳定性分析
11－1 关于钢制细长压杆受力达到分叉载荷之后，还能不能继续承载，有如下四种答案，试判断哪一种是正确的。
（A）不能，因为载荷达到临界值时，屈曲位移将无限制地增加； （B）能，压杆一直到折断时为止都有承载能力； （C）能，只要横截面上的最大应力不超过一定限度； （D）不能，因为超过分叉载荷后变形不再是弹性的。 正确答案是 C 。
11－2 图示两端铰支圆截面细长压杆，在某一截面上开有一小孔。关于这一小孔对压杆承载能力的影响，有以下四种论述，试判断哪一种是正确的。
（A）对强度和稳定承载能力都有较大削弱； （B）对强度和稳定承载能力都不会削弱；
（C）对强度无削弱，对稳定承载能力有较大削弱；
（D）对强度有较大削弱，对稳定承载能力削弱极微。
习题11-2 正确答案是 D 。
11－3 图示a、b、c、d四桁架的几何尺寸、杆的横截面直径、材料、加力点及加力方向均相同。关
于四桁架所能承受的最大外力FPmax有如下四种结论，试判断哪一种是正确的。 （A）FPmax(a)?FPmax(c)?FPmax(b)?FPmax(d)； （B）FPmax(a)?FPmax(c)?FPmax(b)?FPmax(d)； （C）FPmax(a)?FPmax(d)?FPmax(b)?FPmax(c)；
（D）FPmax(a)?FPmax(b)?FPmax(c)?FPmax(d)。
正确答案是 A 。
习题11-3图
解：各杆内力如解图所示：
F-FPFPFPFP0-FP FPP-FPFPFPF000-FPP
?2F?2F 2F2FF?2F?2FF-FPP2FP 2FF0000-FPFPFPPFP -FP000000FPFP -FP00
习题11-3图
由各受压杆内力情况可知，应选答案（A）。 11－4 图示四压杆均为圆截面直杆，杆长相同，且均为轴向加载。关于四者分叉载荷大小有四种解答，试判断哪一种是正确的（其中弹簧的刚度较大）。 （A）FPcr(a)?FPcr(b)?FPcr(c)?FPcr(d)；
PPPPPPPP （B）FPcr(a)?FPcr(b)?FPcr(c)?FPcr(d)； （C）FPcr(b)?FPcr(c)?FPcr(d)?FPcr(a)； （D）FPcr(b)?FPcr(a)?FPcr(c)?FPcr(d)。
正确答案是 D 。
习题11-4图
11－5 一端固定、另一端弹簧侧向支承的压杆。若可采用欧拉公式FPcr?π2 EI/(?l)2，试确定其中长度系数的取值范围为 （A）??2.0；
（B）0.7???2.0； （C）??0.5；
（D）0.5???0.7。 正确答案是 B 。
11－6 图示正三角形截面压杆，两端球铰约束，加载方向通过压杆轴线。当载荷超过临界值时，试问压杆将绕着截面上哪一根轴发生屈曲，表述有四种。 （A）绕y轴；
（B）绕过形心C的任意轴；
习题11-6图
（C）绕z轴；
（D）绕y轴或z轴。
正确答案是 B 。因过正多边形截面形心的任意轴均为形心主轴，且惯性矩相等。
11－7 同样材料、同样载面尺寸和长度的两根管状大柔度压杆，两端由球铰链支承，承受轴向压缩载荷，其中管a内无内压作用，管b内有内压作用。关于二者横截面上的真实应力?(a)与?(b)、临界应力?cr(a)与?cr(b)之间的关系，有如下结论，试判断哪一结论是正确的。 （A）?(a)??(b)，?cr(a)??cr(b)； （B）?(a)??(b)，?cr(a)??cr(b)； （C）?(a)??(b)，?cr(a)??cr(b)； （D）?(a)??(b)，?cr(a)??cr(b)。
正确答案是 D 。
FFpD 解：?(a)??Pcr，?(b)??Pcr?（p为内压，D为管径，?为壁厚，A为管横截面积）
AA4? ∴?(a)??(b)
FF ?cr(a)?Pcr， ?(b)?Pcr
AA ?cr(a)??cr(b)
∴选（D）。
11－8 提高钢制大柔度压杆承载能力有如下方法，试判断哪一种是最正确的。 （A）减小杆长，减小长度系数，使压杆沿截面两形心主轴方向的柔度相等； （B）增加横截面面积，减小杆长； （C）增加惯性矩，减小杆长； （D）采用高强度钢。 正确答案是 A 。
11－9 图示两端为球铰的压杆，当其截面为下列各种可能形式时，试分析屈曲时截面将绕哪一根轴转动。
解：（a），（b）绕过任意轴转动；（c），（d）绕y轴转动；（e）绕过O且与y轴、z轴成45°的轴转动；（f）绕过O且位于Oy、Oz同号间的形心主惯性轴转动。 习题11-9图
11－10 图示四根圆截面压杆、材料及直径均相同。试判断哪一根杆最容易屈曲，哪一根最不容易屈曲。 解：FPcr(a)? FPcr(b)? FPcr(c)?π2EI(5l)2
π2EI(0.7?7l)2π2EI(0.5?9l)2
习题11-10图
FPcr(d)?
(2?2l)2 ∴ FPc(rb)?FPc(rc)?FPc(rd)?FPc(ra)
即（a）杆最易屈曲；（d）杆最不易屈曲。
11－11 图示刚性杆AD在B、E两处由弹簧刚度为k的两根弹簧所支承，并在FP力作用下保持水平平衡位置。试求系统的分叉载荷FPcr。（提示：假定AB杆在微小倾角时保持平衡。）
FPcrA
?FPcr B k?1k?2a
l
习题11-11图 (a)
解：当载荷达临界值时，刚性杆将在微小位移下保持平衡。 受力如图（一端弹簧伸长?1，一端弹簧伸长?2） 由平衡条件：?Fy?0，k?1?k?2，∴?1??2?? ?MA?0，FP?ltan??k?a 由图（a）：ant2? aπ2EI??ka2 ∴ FP?
2lka2 2l 11－12 图示刚性杆AB在A处为铰支座，D处两侧与两根刚度均为k的弹簧相连。试：
1．若已知l = 450mm，a = 300mm，m = 200kg，确定使AB杆保持铅垂位置稳定平衡时，弹簧刚度的数值范围；
2．若已知m = 100kg，l = 600mm，弹簧刚度k = 3kN/m，确定AB杆保持铅垂位置时，间距a的数值范围。
解：1．图（a）：?MA?0
即：FPcr? 2katan??a?mgltan??0 2ka?a?mgl
mgl200?9.8?0.450?4905N/m k?2?2a2?0.3002 k?4905N/m（弹簧刚度越大越稳定）
mgl 2． k?
2a2mgl a2?
2k a? 习题11-12图
(a)
mgl100?9.81?0.6??0.313m?313mm 2k2?3000 ∴ a?313mm（a越大越稳） （注：原书答案a?313mm）
11－13 图示结构中两根柱子下端固定，上端与一可活动的刚性块固结在一起。已知l = 3m，直径d = 20mm，柱子轴线之间的间距a = 60mm。柱子的材料均为Q235钢，E = 200GPa，柱子所受载荷FP的作用线与两柱子等间距，并作用在两柱子所在的平面内。假设各种情形下欧拉公式均适用，试求结构的分叉载荷。 FFFF
(a) (c) (b) (d)
习题11-13图
解：本题可能的失稳方式有四种，如解图所示 图（a）两杆分别失稳?= 0.5
πd4πE?π2EIπ3Ed464???? 单根FPcr (?l)2(0.5l)216l22π3Ed4?? FPcr?2?FPcr
8l2 图（b）两杆作为整体绕y轴失稳?= 2 FPcr?π2EIy(?l)2?π2E4l2?2?πd4π3Ed4? 64128l2 图（c）两杆作为整体绕z轴失稳?= 2
图（d）两杆共同沿z方向（或沿y方向）平稳失稳，由杆的绕曲
线可见，对于即：
长度，可视作一端固定，一端自由，ll ?()?2()?1?l，故对于全长l，
22= 1
∴ 比较（1）（2）（3）（4）后得：
N 即 两杆共同绕y轴失稳时的临界力最小（图b）。