根据三维（P、T、I）标定实验数据，按最小二乘法原理，可求得均方误差最小条件下的A0~A9.已知后，测量时，由三个传感器的输出值U、UT、UI值代入式（1-6）中就可计算出被测目标参量压力的值P，其值是消除了干扰量温度T、电流变化的影响的，故是更接近实际压力值P 的更为准确的值。
1.2.4 BP神经网络
BP 神经网络是由于其权值和阈值采用反向传播(Back Propagation)的学习算法而得名。BP 神经网络一般采用三层（输入层、隐层、输出层）网络结构，如图1-5所示。网络中隐层节点和输出节点(神经元)的输入为前一层网络输出的加权和，例如：
BP神经网络是由于其权值采用反向传播（Back Propagation）的学习算法而得名。Rumelhart、McClelland和他们的同事于1982年成立了一个PDP小组，研究并行分布信息处理方法，探索人类认知的微结构，经过3年的努力，于1985年发展了BP神经网络学习算法。BP网络也是一种多层前馈神经网络，其神经元的变换函数是S型函数，因此其输出量为0到1之间的连续量，它可以实现从输入到输出的任意的非线性映射。在确定了BP网络的结构后，利用输入输出样本集对其进行训练，也即对网络的权值和偏置值（bias）进行学习和调整，以使网络实现给定的输入输出映射关系。经过训练的BP网络，对于不是样本集中的输入，也能给出合适的输出，这种性质称为泛化（generalization）功能，因此，BP神经网络具有拉格朗日（Lagrange）插值法、牛顿（Newton）插值法等类似
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的插值功能，只是拉格朗日（Lagrange）插值法和牛顿插（Newton）值只能用于二维空间的曲线插值，而BP神经网络可实现多维空间的曲面插值。
(1) BP神经网络的神经元模型
BP神经网络一般由多层神经元构成，因此它的神经元可以有多种类型，其神经元的选用需要示具体情况而定。由于BP神经网络是通过误差反向传播来实现的，因此，BP神经网络中的神经元必须是连续可微的，所以，BP神经网络的神经元函数不能选用限幅函数。对于输出范围比较小的网络，可以将其所有的神经元全部选为S型函数，若网络的输出范围比较大，则一般把隐含层神经元选为S型函数，而把输出层神经元选用纯线性函数，从理论上讲，这样选择神经元函数可以任意精度地逼近任意的一个平滑函数。
(2) BP网络结构
BP神经通常有一个或多个隐层。在实际应用中，用得最多的还数三层BP神经网络。如图7-6，是三层BP神经网络的网络模型。网络的输入层包含i个节点，隐层包含j个节点，输出层有k个节点。连接权值w(j, i)表示输入层第i个节点与隐层的第j个节点的连接权值。v(k, j)表示隐层第j个节点与输出层第k个节点的连接权值。
（a）神经
(b) 网
图7-7 BP神经网络
(3) BP神经网络的学习算法 1) 初始化
从BP神经网络的网络结构和神经元的函数可知，BP神经网络本身含有待定的参数，即连接权值和神经元的偏置值（bias），这些参数一般不能象求解方程组一样直接求得，只能亦步亦趋地逐步逼近。BP神经网络的学习过程实质上就是对网络参数的调节过程，使得网络的参数一步一步地从远离最佳点的位置走向最佳位置点。因此，在进行参数调节之前，网络的参数必须有一个初始值，对网络参数的初始值的确定，就是网络的初始化。
BP神经网络参数的初始化在网络的训练中非常重要，如果参数的初始值不合适，网络可能不收敛，或是收敛速度比较慢。通过多方的验证发现，网络的权值随机地在[-1，1]范围内取初始值，而偏置值（bias）在[-3，3]内，网络的收敛速度较快。
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2) 训练
BP神经网络的训练是通过误差反向传播来实现的，所有参数都是根据总误差对其本身的一阶偏微分来修正的，因此，在网络正式进行训练前，首先要确定总误差对每一参数的偏微分的数学表达式。一般地，神经网络的总误差取为：
E?1[y(k)?d(k)]2?2k （7.10）
式中E为某一次训练的总误差，y(k)为网络输出层第k个神经元的实际输出，d(k)为对应于y(k)的期望输出。网络的训练，也就是调整网络的参数，使得E足够小。若网络的神经元函数全部选为对数S型函数，那么网络参数的修正数学表达式的求取如下：
? 求总误差对输出层神经元的输入和的偏微分
（7.11）
式中pk为输出层第k个神经元的总输入。相应地，总误差对输出层神经元的偏置值（bias）的偏微分为
?yk?E?k??[yk?dk]?[yk?dk]yk[yk?1]?pk?pk?yk?E??k??[yk?dk]?[yk?dk]yk[1?yk]??k??k? 求总误差对输出层神经元与隐含层神经元的连接权值的偏微分
（7.12）
?vk,j?pk?EE?????koj?vk,j?pk?vk,j （7.13）
式中Oj为隐含层第j个神经元的实际输出。 相应地，总误差对隐含层的输出的偏微分为：
?oj??EE?pk????kvk,j?oj?pk?oj （7.14）
? 求总误差对隐含层神经元的输入和的偏微分
?EE?oj?j????oj[oj?1]??kvk,j?qj?oj?qjk式中qj为隐含层第j个神经元的总输入。
（7.15）
相应地，总误差对隐含层神经元的偏置值（bias）的偏微分为
??j??EE?oj???oj[1?oj]??kvk,j??j?oj??jk （7.16）
? 求总误差对输入层与隐含层的连接权值的偏微分
?wj,i
?oj?EE????xi?j?wj,i?oj?wj,i8
（7.17）
于是得到网络的参数的修正公式为：
vk,j(t)?vk,j(t?1)???vk,j(t?1) （7.18）
?k(t)??k(t?1)????(t?1) （7.19）
wj,i(t)?wj,i(t?1)???wj,i(t?1)?j(t)??j(t?1)????(t?1)这里η为学习步长。
从上述算法的推导可知，标准的BP算法是一种最速下降静态寻优算法，其参数的修正只按t时刻的负梯度方式进行修正，而没有考虑以前的积累经验，从使得标准的BP算法存在如下的3个主要缺点：
1）收敛速度慢； 2）局部极值；
3）难以确定隐层和隐层节点的个数。
为了克服这些缺点，从事神经网络研究的科学工作者在标准BP算法上作了改进，在对网络参数进行修正时，把以前的学习经验也考虑进去。例如，权值wji的修正公式改为下式：
（7.20）
（7.21）
wji(t)?wji(t?1)??[(1??)?wji(t?1)???wji(t?2)]这里α为学习率，λ为动量因子，且0≤λ≤1。
（7.22）
这种算法后来被称之为动量法。动量法减小了学习过程的振荡趋势，降低了网络对于误差曲面局部细节的敏感性，能有效地抑制网络陷于局部最小，从而改善了收敛性。
在Matlab环境中，可以用newff函数来创建一个BP神经网络。 §7.2.1.3 径向基函数（RBF）网络
网络的函数逼近角度来说，神经网络可分为全局逼近神经网络和局部逼近神经网络。前面谈到的BP神经网络由于对每个输入输出数据对，网络的每一个权值均需要调整，因此是全局逼近网络。RBF神经网络对于每个输入输出对，只有少量的权值需要进行调整，所以是局部逼近神经网络。也正因为RBF网络的局部逼近特性，使得它在逼近能力、分类能力和学习速度等方面均优于BP网络。
(1) RBF神经网络模型
RBF神经网络的神经元相应函数采用高斯型函数，其神经元模型如图7-8。它同前面所谈到的神经元有所不同，前面谈到的感知器神经元和BP网络的神经元的总输入是对各输入和偏置值（bias）进行加权求和得到，即
x(k)??xi(k)i。
而如图7-8所示的RBF网络的神经元的总输入是权值矩阵的行向量与输入向量的
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向量距与偏置值（bias）的乘积，其数学表达式为：
ni?bi2(w?p)?ijjij （7.23）
式中ni为网络隐层第i个神经元的总输入，bi为第i个神经元的偏置值（bias），wij为隐层权值矩阵的第i个行向量的第j个元素，pji是第j个输入向量的i时刻输入值。
RBF神经网络模型同BP网络类似，通常其输出层是纯线性神经元，只是其隐层神经元是称之为radbas型的神经元。RBF神经网络模型如图7-9。
图基神经
(2) RBF神经网络的的训练
由高斯函数的函数表达式可知，其输出最大值为1，当输入向量与权值向量的向量矩减小时，神经元的输出增大。偏置b用来调节高斯函数对输入的灵敏度， b的绝对值越大，神经元对输入越灵敏，也就是说，神经元的响应函数曲线越“宽”。对应于图7-5，也就是函数的输出为0.5时的两个总输入之差的绝对值越大。对于b的取值，一般由训练样本的样本距和样本的范围决定，b的取值大于两个相邻样本点的最大距离，而小于任意两个样本的最大距离。例如，对于一个单输入单输出的RBF神经网络，输入的样本为{-6，-4，0，2，4，7}，那么b的取值应大于4而小于13。
RBF神经网络中，其隐层神经元的数量可以说是由样本点的数量来决定，有多少个输入样本点，就有多少个隐层神经元。对于每个隐层神经元的输入，其输出满足下列条件：
1)若是其对应的样本点，我们也称其为该神经元的特征输入点，那么其对应的输出应趋于1；
2)对于非样本点输入，输入与特征输入的点距离越远，则神经元的输出越小。
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7-9 径向网络模型