第1章直角三角形的边角关系
一、知识梳理
二、题型、技巧归纳 类型一 求三角函数值
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例1 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB＝( )
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A. B. C. D. 4
[解析] B 根据sinA＝，可设三角形的两边长分别为4k,5k，则第三边长为3k，所以
5
43343545
tanB＝＝. 归纳：求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：(1)根据特殊角的三角函数值求值；(2)直接运用三角函数的定义求值；(3)借助边的数量关系求值；(4)借助等角求值；(5)根据三角函数关系求值；(6)构造直角三角形求值．
类型二 特殊角的三角函数值 例2 计算：3
3k34k4
?2?0
＋tan60°＋?－?.
?3?3
[解析] 本题考查数的0次幂、分母有理化和特殊角的三角函数值． 解：原式＝3＋3＋1＝23＋1.
类型三 利用直角三角形解决和高度有关的问题
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例3 如图X1－1，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼AB的高度．小刚在D处用高1.5 m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40 m到达EF，又测得教学楼顶端A的仰角为60°.求这幢教学楼AB的高度．
[解析] 设CF与AB交于点G，在Rt△AFG中，用AG表示出FG，在Rt△ACG中，用AG表示出CG，然后根据CG－FG＝40，可求AG.
AGAGAG
解：设CF与AB交于点G，在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，∴FG＝＝. FGtan∠AFG3在Rt△ACG中，tan∠ACG＝又CG－FG＝40，即3AG－
AGAG
，∴CG＝＝3AG. CGtan∠ACG＝40， 3
AG
∴AG＝203，∴AB＝(203＋1.5)m. 答：这幢教学楼AB的高度为(203＋1.5)m.
归纳; 在生活实际中，特别在勘探、测量工作中，常需了解或确定某种大型建筑物的高度或不能用尺直接量出的两地之间的距离等，而这些问题一般都要通过严密的计算才可能得到答案，并且需要先想方设法利用一些简单的测量工具，如：皮尺，测角仪，木尺等测量出一些重要的数据，方可计算得到．有关设计的原理就是来源于太阳光或灯光与影子的关系和解直角三角形的有关知识．
类型四 利用直角三角形解决平面图形中的距离问题
例4 为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正在对城区沱江河段进行区域性景观打造，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B，C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在点C处测得点A在西北方向上，量得BC长为200米．求小河的宽度(结果保留根号)．
[解析] 过点A作AD⊥BC于点D，
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根据∠CAD＝45°，可得BD＝BC－CD＝200－AD.
AD
在Rt△ABD中，根据tan∠ABD＝，可得AD＝BD·tan∠ABD＝(200－AD)·tan60°＝3
BD(200－AD)，列方程AD＋3AD＝2003，解出AD即可．
典例精析：
如图X1-J-5，一条输电线路从A地到B地需要经过C地，图中AC=20 km，∠CAB=30°，∠CBA=45°，因线路整改需要，将从A地到B地之间铺设一条笔直的输电线路. （1）求新铺设的输电线路AB的长度；（结果保留根号）
（2）问整改后从A地到B地的输电线路比原来缩短了多少千米.（结果保留根号）
解：（1）如答图X1-J-2，过点C作CD⊥AB，交AB于点D.在Rt△ACD中，
答：新铺设的输电线路AB的长度为
三、随堂检测
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2,BC= 3,则 tan = 。 2．等腰三角形底角为30°，底边长为23，则腰长为 ( ) A.4 B. 23 C.2 D. km.
3 23.如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在AC上，∠CBD=30°，则AD/DC的值为( )
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