弯折角度对石墨烯纳米带热导率的影响研究
韩梦迪，梅健，柯青
(华中科技大学电子科学与技术系，武汉 430074)
本文采用非平衡分子动力学方法研究了不同温度下石墨烯纳米带（GNR）的热导率随弯折角度的变化规律。在室温下，GNR的热导率随长度增加而增加，随宽度增加而下降。随着温度的升高，GNR的热导率下降，但是当弯折角度很大时，声子散射对热导率的影响很大，导致此时GNR的热导率并不随温度升高而下降。当GNR在热传导方向出现了弯折时，各处温度梯度不一致，其热导率也出现了不同程度的下降，下降程度由弯折角度和边缘手性共同决定。此外，对于弯折角度过大的GNR，其热导率较低，在弯折处存在很大的温度跳变，进行边缘修饰可以提高其热导率并减小弯折处的温度跳变。
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关键词：石墨烯纳米带，分子动力学，热导率，弯折 PACS: 05.70.Ln
1. 引 言
随着半导体技术的发展,超大规模集成电路的特征尺寸不断缩小[1]。目前集成电路已经进入了纳米时代，在纳米级别，金属的热稳定性下降，电阻率增加，这会影响到集成电路的散热性能。传统金属材料中，铜的热导率为400 W/mk[2]，是目前集成电路互连线的主要材料。相比之下，碳材料具有很高的热导率，Slack等人测得金刚石的热导率为2000 W/mk[3]，Berber通过分子模拟得到碳纳米管的热导率为6600 W/mk[4]。自从2004年Novoselov等人通过实验制得石墨烯后[5]，一系列的研究表明石墨烯具有独特的电磁学性质[6-9]。在热学性质方面，石墨烯同其它碳材料一样，具有极高的热导率[10]。
现有的实验已经可以制备出高质量的石墨烯[11]，并能很好的控制其边缘的几何形状[12]。由于石墨烯纳米带（GNR）具有高热导率，并与碳基电路相适应，将其用作新一代集成电路互联线可以解决纳米尺度下的散热问题，具有十分诱人的前景[13-15]。GNR的热导率受到很多因素的影响，例如当GNR的长度小于声子平均自由成775 nm[16]时，长度的增加会使GNR的热导率增大[17, 18]。宽度与GNR热导率的关系较为复杂，宽度增大使ZGNR的热导率随先增加后减小，而AGNR的热导率随着宽度增大而增加[18]；当石墨烯纳米带边缘粗糙时，热导率随宽度增加而增大[19]；而Hu等人的研究结果表明GNR的热导率随着宽度的增加略有下降[20]。对于多层石墨烯，其热导率低于单层石墨烯，且热导率随着层数的
增多而减小[11]。当温度升高时，U过程增强，导致GNR的热导率降低[19, 21]。另外，缺陷[22]、手性[23]、掺杂[24, 25]均会影响GNR的热导率。
目前对GNR热导率的研究中对实际集成电路中的因素考虑甚少。在实际集成电路中，互连线会有一定的弯折角度，不同的弯折角度对石墨烯纳米带的热导率有不同程度的影响。本文针对弯折角度这一问题，采用非平衡分子动力学方法，使用Tersoff势计算了弯折GNR在不同温度下的热导率。
2. 计算方法与物理模型
本文使用LAMMPS MD软件包[26]采用非平衡分子动力学方法模拟GNR的热导率。在模拟过程中，采用在碳族化合物中得到广泛应用的Tersoff势[27]来描述石墨烯纳米带C-C之间的相互作用。分子模拟的步长设为0.2 fs，首先在NVE系综下使用Nosé–Hoover恒温方法运行0.34 ns以使体系达到热平衡状态，之后采用Müller Plath方法[28]计算热导率。根据模拟的需要，热平衡时的温度设为200 K到400 K不等。
Müller Plathe方法原理图如图1(a)所示，在GNR传热方向上，分为50层，第26层为热端，第1层和第50层为冷端，每16 fs从冷端取出动能最大的原子与热端动能最小的原子进行速度交换，这会在传热方向上产生温度梯度，并且体系的总能量和总动量保持不变。通过统计平均，可以得到体系的能流密度以及每一层的平均温度，由傅里叶定律就可以计算出热导率，即
??J ?T2A?z式中A为石墨烯纳米带传热方向的横截面积，选取碳碳键的键长0.142 nm[17, 18]作为GNR的厚度来计算横截面积。
图1 不同弯折角度的GNR模型
(a) 弯折角度为0°的GNR (b) 弯折角度为30°的GNR (c) 弯折角度为45°的GNR (d) 弯折角度为60°的GNR (e) 弯折角度为90°的GNR (f) 修饰后的弯折角度为90°的GNR
本文模拟了不同弯折角度的GNR的热导率，图1给出了不同弯折角度的GNR的模型图，(a)、(b)、(c)、(d)、(e)依次为弯折角度为0°、30°、45°、60°和90°的模型，(f)为修饰后的弯折角度为90°的GNR。各GNR的尺寸如图1(d)(e)所示，宽度均为W（W=1.97 nm），长度则按传热方向分三段L1、L2、L3（L1=L2=L3=5.62 nm）。弯折角度为0°和60°的GNR，手性为Zigzag型；弯折角度为30°和90°的GNR，Zigzag型与Armchair型交替出现；弯折角度为45°的GNR，由于其结构特性，有一部分的边缘是不规则的。
3. 结果与讨论
本文首先模拟了长度为11 nm的10-ZGNR和20-AGNR的热导率，其热导率分别为224 W/mk和113 W/mk，与Guo等人的研究结果相一致[18]。由于模拟的GNR长度较短，得到的热导率也远小于实验测定值，为了便于与实验对比，本文研究了热导率随长度、宽度的变化规律，由此可以推算出较长和较宽的GNR的热导率。300K下，10-ZGNR的热导率与长度的呈线性关系（图2(a)）,这种线性关系是由声子的弹道传输性质决定的。当10-ZGNR的长度由7.9852 nm增加到38.6385 nm时，其热导率由167.4829 W/mk增长为753.2020 W/mk。
图2 (a) ZGNR热导率随长度的变化 (b) ZGNR热导率随宽度的变化
GNR的热导率与宽度并没有特定的关系。一方面，宽度的增加使边缘效应减弱，这会使热导率增加；另一方面，U过程随着宽度增加而增强，这会导致GNR的热导率下降[29]。本文的结果表明，当温度为300K时，长度为5.6170 nm的ZGNR的热导率随宽度增加而下降（图2(b)）。当宽度由2.1846 nm增加到10.6385 nm时，热导率由141.1788 W/mk下降到87.3086 W/mk，这种变化趋势与Hu等人的结果相符[20]。
对于不同弯折角度的GNR的热导率，几种典型的温度分布曲线如图3。当弯折角度为45°时，两端的手性为Zigzag型，中间部分的边缘不规则。这种结构导致各处的温度梯度不同，两端的温度梯度较低，中间的温度梯度较高（图3(b)），由傅里叶定律可知，两端的热导率要高于中间的热导率。在使用Müller Plathe方法计算热导率时，当体系的各处温度梯度不同时，热导率是根据体系整体的平均温度梯度求得的[28]。对于弯折角度为90°的GNR，弯折角度过大导致弯折处温度梯度很高（图3(c)），热导率下降。为了减小弯折处温度跳变程度，本文对弯折角度为90°的GNR的边缘进行了修饰，使其角度平滑过渡（图1(f)），相应的温度分布如图3(d)所示。由图可知，修饰后的GNR在拐角处温度跳变较小，其在300K下的热导率为173.1671 W/mK,大于修饰前的125.4441 W/mK。这是因为修饰后的GNR在弯折处平滑过渡，没有很大的弯折角，声子散射损失的能量小。
图3 不同弯折角度GNR的温度分布曲线
(a) 弯折角度为0°的GNR的温度分布曲线 (b) 弯折角度为45°的GNR的温度分布曲线 (c) 弯折角度为90°的GNR的温度分布曲线 (d) 边缘修饰后弯折角度为90°的GNR的温度分布曲线
集成电路应在很宽的温度范围内均能正常工作，如果将GNR用作集成电路的互连线，研究其热导率随温度的变化规律是十分必要的。如图4所示,对于不同弯折角度的GNR，温度的升高使声子的Umklapp散射作用不断增强，导致热导率下降。当弯折角度为90°时，热导率随温度的关系会出现一定的反常，这是因为U过程和声子散射都会对热导率产生一定的影响，弯折角度为90°时，声子散射最强烈，声子散射对热导率的影响较为突出，以至于掩盖了温度对热导率趋势的影响。
图4 不同弯折角度GNR的热导率随温度的变化关系