，
(2)当a?b时,在(0,)和(,??)上y?logax(bx)为减函数.
推论:设n?m?1，p?0，a?0，且a?1，则 （1）logm?p(n?p)?logmn.（2）logamlogan?loga? 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有y?N(1?p)x. 39.数列的同项公式与前n项的和的关系
21a1am?n. 2n?1?s1,( 数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2???an). an???sn?sn?1,n?2数列
? 等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)；
n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n. 2222ann?1*? 等比数列的通项公式an?a1q?1?q(n?N)；
q其前n项和公式为sn?其前n项的和公式为
?a1(1?qn)?a1?anq,q?1,q?1??sn??1?q或sn??1?q.
?na,q?1?na,q?1?1?1? 等比差数列?an?:an?1?qan?d,a1?b(q?0)的通项公式为 ?b?(n?1)d,q?1?an??bqn?(d?b)qn?1?d；
,q?1?q?1?其前n项和公式为
?nb?n(n?1)d,(q?1)?sn??. d1?qnd(b?)?n,(q?1)?1?qq?11?q?? 分期付款(按揭贷款)
ab(1?b)n每次还款x?元(贷款a元,n次还清,每期利率为b). n(1?b)?1
三角函数
? 常见三角不等式 （1）若x?(0,6
?)，则sinx?x?tanx.(2) 若x?(0,)，则1?sinx?cosx?2. 22第 页 共 29 页2013-5-1
?
(3) |sinx|?|cosx|?1.
? 同角三角函数的基本关系式
sin2??cos2??1，tan?=
? 正弦、余弦的诱导公式
sin?，tan??cot??1. cos?(n为偶数) (n为奇数) (n为偶数) (n为奇数) n?n??(?1)2sin?,sin(??)?? n?12?(?1)2cos?,?n?2co?s,n??(?1) cos(??) ??n?12?(?1)2si?n,?
? 和角与差角公式
sin(???)?sin?cos??cos?sin?;
cos(???)?cos?cos??sin?sin?;
tan??tan?tan(???)?.
1?tan?tan?sin(???)sin(???)?sin2??sin2?(平方正弦公式);
cos(???)cos(???)?cos2??sin2?.
asin??bcos?=a2?b2sin(???)(辅助角?所在象限由点(a,b)的象限决定,tan??? 半角正余切公式：tan? 二倍角公式
b ). a?2?sin?sin?,cot??
1?cos?1?cos?sin2??sin?cos?.cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?.tan2??? 三倍角公式
2tan?. 21?tan?sin3??3sin??4sin3??4sin?sin(??)sin(??).
33cos3??4cos3??3cos??4cos?cos(??)cos(??)33????.
3tan??tan3???tan3???tan?tan(??)tan(??).
1?3tan2?33? 三角函数的周期公式
函数y?sin(?x??)，x∈R及函数y?cos(?x??)，x∈R(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T?2??；函数y?tan(?x??)，x?k???2,k?Z(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T??. ?? 正弦定理 ? 余弦定理
abc???2R. sinAsinBsinCa2?b2?c2?2bccosA;b2?c2?a2?2cacosB;c2?a2?b2?2abcosC.
? 面积定理
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7
111aha?bhb?chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）. 222111（2）S?absinC?bcsinA?casinB.
222????????2????????21(|OA|?|OB|)?(OA?OB). (3)S?OAB?2（1）S?? 三角形内角和定理
在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)
?C?A?B???2C?2??2(A?B). 222? 在三角形中有下列恒等式： ① sin(A?B)?sinC
②tanA?tanB?tanC?tanA.tanB.tanC ? 简单的三角方程的通解
sinx?a?x?k??(?1)arcsina(k?Z,|a|?1). cosx?a?x?2k??arccosa(k?Z,|a|?1).
ktanx?a?x?k??arctana(k?Z,a?R).
特别地,有
sin??sin????k??(?1)k?(k?Z). cos??cos????2k???(k?Z).
tan??tan????k???(k?Z).
? 最简单的三角不等式及其解集
sinx?a(|a|?1)?x?(2k??arcsina,2k????arcsina),k?Z.
sinx?a(|a|?1)?x?(2k????arcsina,2k??arcsina),k?Z. cosx?a(|a|?1)?x?(2k??arccosa,2k??arccosa),k?Z.
cosx?a(|a|?1)?x?(2k??arccosa,2k??2??arccosa),k?Z.
tanx?a(a?R)?x?(k??arctana,k???2),k?Z.
tanx?a(a?R)?x?(k??,k??arctana),k?Z. 22??(???)?(???)?? 角的变形：2??(???)?(???)
??(???)??
向量
? 实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. ? 向量的数量积的运算律：
(1) a·b= b·a （交换律）;(2)（?a）·b= ?（a·b）=?a·b= a·（?b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. ? 平面向量基本定理 如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ
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、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． ? 向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则a?b(b?0)?x1y2?x2y1?0.
1
? a与b的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ． ? a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． ? 平面向量的坐标运算
(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1?x2,y1?y2).
???????????? (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).
(4)设a=(x,y),??R，则?a=(?x,?y).
(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2?y1y2).
? 两向量的夹角公式
(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1?x2,y1?y2).
cos??x1x2?y1y2x?y?x?y21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).
? 平面两点间的距离公式
???????????? dA,B=|AB|?AB?AB ?(x2?x1)2?(y2?y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).
? 向量的平行与垂直
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则 A||b?b=λa ?x1y2?x2y1?0. a?b(a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0. ? 线段的定比分公式
?????????设P是实数，且PP12的分点,1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段PP1??PP2，则
x1??x2?????????x??????OP?1??1??OP2OP? ??1???y?y1??y2?1???????????????1t?（）. ?(1?t)OP?OP?tOP121??? 三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是
G(x1?x2?x3y1?y2?y3,).
33? 点的平移公式
''????????????'???x?x?h?x?x?h'???OP?OP?PP . ?''?y?y?k???y?y?k'????'注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP的坐标为(h,k).
'''? “按向量平移”的几个结论
（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(x?h,y?k).
''(2) 函数y?f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为
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y?f(x?h)?k.
(3) 图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y?f(x),则C的函数解析式为
''y?f(x?h)?k.
''(4)曲线C:f(x,y)?0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为f(x?h,y?k)?0. (5) 向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).
? 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O为?ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则
????2????2????2（1）O为?ABC的外心?OA?OB?OC.
?????????????（2）O为?ABC的重心?OA?OB?OC?0.
????????????????????????（3）O为?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA.
?????????????O?ABC（4）为的内心?aOA?bOB?cOC?0.
????????????（5）O为?ABC的?A的旁心?aOA?bOB?cOC.
不等式
? 常用不等式：
（1）a,b?R?a?b?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．
22a?b?ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2333（3）a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0).
（2）a,b?R??（4）柯西不等式
(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2,a,b,c,d?R.
（5）a?b?a?b?a?b. ? 极值定理
已知x,y都是正数，则有
（1）若积xy是定值p，则当x?y时和x?y有最小值2p； （2）若和x?y是定值s，则当x?y时积xy有最大值
12s. 4推广 已知x,y?R，则有(x?y)2?(x?y)2?2xy （1）若积xy是定值,则当|x?y|最大时,|x?y|最大； 当|x?y|最小时,|x?y|最小.
（2）若和|x?y|是定值,则当|x?y|最大时, |xy|最小； 当|x?y|最小时, |xy|最大.
22? 一元二次不等式ax?bx?c?0(或?0)(a?0,??b?4ac?0)，如果a与ax?bx?c同号，
2则其解集在两根之外；如果a与ax?bx?c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)；
2x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2).
? 含有绝对值的不等式 当a> 0时，有
x?a?x2?a??a?x?a.
2x?a?x2?a2?x?a或x??a.
75.无理不等式
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