集合与常用逻辑用语
1．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．
[问题1] 集合A＝{a，b，c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是( ) A．等腰三角形 C．直角三角形 答案 A
2．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集． [问题2] 集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝________. 答案 ?
3．遇到A∩B＝?时，你是否注意到“极端”情况：A＝?或B＝?；同样在应用条件A∪B＝B?A∩B＝A?A?B时，不要忽略A＝?的情况．
[问题3] 设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，集合B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则实数m组成的集合是________． 11答案 {0，，}
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4．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.
[问题4] 满足{1,2}?M?{1,2,3,4,5}的集合M有________个． 答案 7
5．注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．
[问题5] 已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝1－x}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则(?IA)∪B等于( ) A．[1，＋∞) C．[0，＋∞) 答案 C
6．“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．
[问题6] 已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题和命题的否定分别是
B．(1，＋∞) D．(0，＋∞) B．锐角三角形 D．钝角三角形
________________．
答案 否命题：已知实数a、b，若|a|＋|b|≠0，则a≠b； 命题的否定：已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a≠b
7．要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
[问题7] 设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N?M”的________条件． 答案 充分不必要
8．要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”．求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想．
[问题8] 若存在a∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围是________________．
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，＋∞? 答案 (－∞，－1)∪??3?
解析 不等式即(x2＋x)a－2x－2>0，设f(a)＝(x2＋x)a－2x－2.研究“任意a∈[1,3]，恒有f(a)≤0”．
??f?1?≤0，
则? ?f?3?≤0，?
2
－1，?. 解得x∈?3??
2?则实数x的取值范围是(－∞，－1)∪??3，＋∞?.
易错点1 忽视空集致误
例1 已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A.求实数m的取值范围．
错解 ∵x2－3x－10≤0，∴－2≤x≤5， ∴A＝{x|－2≤x≤5}． 由A∪B＝A知B?A，
??－2≤m＋1
∴?，即－3≤m≤3， ?2m－1≤5?
∴m的取值范围是－3≤m≤3.
找准失分点 B?A，B可以为非空集合，B也可以是空集．漏掉对B＝?的讨论，是本题的一个易失分点．
正解 ∵A∪B＝A， ∴B?A.
∵A＝{x|x2－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}． ①若B＝?，则m＋1>2m－1， 即m<2，故m<2时，A∪B＝A； ②若B≠?，如图所示， 则m＋1≤2m－1，即m≥2.
??－2≤m＋1，
由B?A得?
?2m－1≤5.?
解得－3≤m≤3. 又∵m≥2，∴2≤m≤3.
由①②知，当m≤3时，A∪B＝A.
易错点2 对命题的否定不当致误
ax＋10
例2 已知M是不等式≤0的解集且5M，则a的取值范围是________．
ax－25错解 (－∞，－2)∪(5，＋∞)
找准失分点 5M，把x＝5代入不等式，原不等式不成立， 5a＋10
有两种情况：①>0；②5a－25＝0，答案中漏掉了第②种情况．
5a－255a＋10
正解 方法一 ∵5M，∴>0或5a－25＝0，
5a－25∴a<－2或a>5或a＝5， 故填a≥5或a<－2. 方法二 若5∈M， 则
5a＋10
≤0， 5a－25
∴(a＋2)(a－5)≤0且a≠5， ∴－2≤a<5，
∴5M时，a<－2或a≥5. 答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞)
易错点3 充要条件判断不准
例3 设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的________条件．
错解 若A?C，则?UC??UA，又B??UC， ∴A∩B＝?，故填“充要”．
找准失分点 没有理解充分条件的概念，p?q只能得到p是q的充分条件，必要性还要检验q?p是否成立．
正解 若A?C，则?UC??UA，当B??UC时，可得A∩B＝?；若A∩B＝?，不能推出B??UC，故填“充分不必要” 答案 充分不必要
1．(·北京)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B等于( ) A．{0} C．{0,2} 答案 C
解析 ∵A＝{x|x2－2x＝0}＝{0,2}，B＝{0,1,2}， ∴A∩B＝{0，2}．
2．(·北京)设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件 答案 D
解析 {an}为递增数列，则a1>0时，q>1；a1<0时，0 q>1时，若a1<0，则{an}为递减数列．故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D. 3．命题“?x∈R，x2－2x＋1<0”的否定是( ) A．?x∈R，x2－2x＋1≥0 C．?x∈R，x2－2x＋1≥0 答案 C 解析 特称命题的否定为全称命题． 4．已知p：关于x的函数y＝x2－3ax＋4在[1，＋∞)上是增函数，q：y＝(2a－1)x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是( ) 2A．a≤ 312C. 1 B．0 21 D. B．?x∈R，x2－2x＋1>0 D．?x∈R，x2－2x＋1<0 B．{0,1} D．{0,1,2} 21 －∞，?，q?a∈?，1?， 解析 p?a∈?3???2?12? ∴a∈??2，3?. 5．如果全集U＝R，A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝ln(x－1)}，则图中的阴影部分表示的集合是( ) A．(－∞，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，0)∪(1,2) 答案 D 解析 由题意得A＝(－∞，0)∪(2，＋∞)， B＝(1，＋∞)， 图中的阴影部分表示的集合是[A∩(?UB)]∪[(?UA)∩B]，而A∩(?UB)＝(－∞，0)，(?UA)∩B＝(1,2]，故阴影部分表示的集合是(－∞，0)∪(1,2]． 6．已知集合A＝{x|x2 答案 C 解析 ∵B＝{x|1 ?? 2 B．(－∞，0]∪(1,2) D．(－∞，0)∪(1,2] 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析 A＝{x|－1≤x≤1}＝[－1,1]，B＝{y|y＝x＋1，x∈A}＝[0,2]，(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 8．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中的元素有________个． 答案 8 9．设U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2,3)∈A∩(?UB)的充要条件是________． 答案 m>－1，n<5 10．已知条件p：x2＋2x－3>0，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围为__________． 答案 [1，＋∞) 解析 由x2＋2x－3>0可得x>1或x<－3， “綈p是綈q的充分不必要条件”等价于“q是p的充分不必要条件”，故a≥1.