6. 设N?为正整数集合，定义：a1?2，
an?1?min{?|1111??????1,??N?},n?1,2,?． a1a2an?2求证：an?1?an?an?1．(李胜宏提供)
证明：由a1?2,a2?min{?|1111111??1,??N?}，考虑??1，则?1??,??2，
a1?a1?从而a2?3，即n?1时， 结论成立．
假设对所有n?k?1(k?2)， 结论成立． 当n?k时，由ak?1?min{?|1a?1???1?1?1,??N?}，1a2ak?1a?1???1?1?1， 1a2ak?即0?1??1?(1a?1???1)， 从而 1a2ak??11?1．
a?1???11a2ak下面证明：
1?ak(ak1?1?1)．
a?1???11a2ak由于假设对于2?n?k,an?an?1(an?1?1)?1，有
1a?1?1?1， n?1an?1(an?1?1)an?1?1an?1所以1?11，求和得 ?k1aa??n?1n?1?1a?11，即 n?1i?2ai?1ak?1?k1?1?111， i?1aia?a?1?k?1kak(ak?1) 于是
1?ak(ak?1)，
1?1a?11a???12ak 6
?22考虑 所以 ak?1?min{?|1111??????1,??N?}?ak(ak?1)?1， a1a2ak?2由数学归纳法知，对所有正整数n，有an?1?an?an?1．
7. 设n是一个正整数，实数a1,a2,?,an 和 r1,r2,?,rn 满足：a1?a2???an 和
0?r1?r2???rn，求证：
??aaii?1j?1nnjmin(ri,rj)?0． (朱华伟提供)
证明：作一张n?n的表：
?a1a1r1??a2a1r1?a3a1r1A1????????aar?n11nnna1a3r1?a1anr1??a2a2r2a2a3r2?a2anr2?a3a2r2a3a3r3?a3anr3??
?????ana2r2ana3r3?ananrn??na1a2r1由于??aiajmin(ri,rj)??a1ajmin(r1,rj) ??a2ajmin(r2,rj)??
i?1j?1j?1j?1??akajmin(rk,rj)????anajmin(rn,rj)，
j?1j?1nn它的第k项?akajmin(rk,rj)?aka1r1?aka2r2???akakrk?akak?1rk???akanrk就是表中第k行
j?1n各元素的和，k?1,2,?,n）
因此，??aiajmin(ri,rj)就是表A1中所有元素的和；
i?1j?1nn另外，此和也可以按以下方式求得：先取出表A1中第一行、第一列的各元素，并求其和；剩下的表记为A2（相当于删去A1中的第一行和第一列而得到A2），再取出表A2中第一行、第一列的各元素，并求其和；剩下的表记为A3（相当于删去A2中的第一行和第一列而得到，再取出表A3中第一行、第一列的各元素，并求其和；??，如此得 A3）
??aaii?1j?1nnj2 min(ri,rj)??rk(ak?2ak(ak?1?ak?2???an))（这是Ak中第一行第一列各元素的和）
k?1nnnnn??n?22?2??rk?(ak??ai)?(?ai)???rk?(?ai)?(?ai)2? k?1i?k?1i?k?1i?k?1??k?1?i?k?n 7
?r1(?ai)?r2(?ai)?r3(?ai)???rn(?ai)2
222i?1i?2nnnnni?3ni?n?r1(?ai)?r2(?ai)???rn?1(?ai)2
22i?2i?3i?nn． ??(ri?ri?1)(?ai)2?0（此处约定r0?0）
i?ki?knn因此结论得证．
8. 在一个圆周上给定8个点A1,A2,?,A8．求最小的正整数n，使得以这8个点为顶点的任意n个三角形中，必存在两个有公共边的三角形． (陶平生提供)
解：先考虑两两无公共边的三角形个数的最大值r．
8个点，每两点连一条弦，共得C82?28条弦，若每条弦只属于一个三角形，则这些弦至
?28?多能构成两两无公共边的三角形个数r????9个，但若有9个这样的三角形，共得27个
?3?顶点，则八边形必有一顶点，至少属于4个三角形，设为A8，共顶点A8的4个三角形，A8的对边都是A1,A2,?,A7之中的两点连线，其中必有一点，设为Ak，出现了两次，那么相应的两个三角形将有一条公共边A8Ak，这不可能；故r?8．
另一方面，当r?8时，我们确实可以作出这样的8个三角形，使得其中任两个三角形都无公共边；
注意这样的8个三角形，共产生24个顶点，若使每点所参与的三角形个数都小于4，那么每点恰好属于3个三角形，也就是说，每个点，恰与其余七点中的6点有边相连，而与另一点不连边；考虑每点度数皆为6的八阶图G：
为简明起见，取圆周的八等分点作为图G的八个顶点，作8阶完全图，然后去掉其中4条直径，这样共得24条边，且每点均属于6条边；在由这些边所构成的三角形中，选取八个等腰三角形：
(1,2,3),(3,4,5),(5,6,7),(7,8,1)以及(1,4,6),(3,6,8),(5,8,2),(7,2,4)
81237654它们两两无公共边；（每一组的四个三角形，皆可由其中一个三角形绕圆心适当旋转而得到）．
因此，r?8，从而所求的最小值n?r?1?9．
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