第八讲 数列综合
★★★高考在考什么 【考题回放】
1.已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y?x2?2x?3的顶点是(b，c)，则ad等于（ B ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．?2
2.已知等差数列?an?的前n项和为Sn，若S12?21，则a2?a5?a8?a11? ．7
3. 在等比数列?an?中,a1?2,前n项和为Sn,若数列?an?1?也是等比数列,则Sn等于 A．2n?1?2 B.3n C. 2n D.3n?1
【解析】因数列?an?为等比，则an?2qn?1，因数列?an?1?也是等比数列， 则
(an?1?1)2?(an?1)(an?2?1)?an?12?2an?1?anan?2?an?an?2?an?an?2?2an?1?an(1?q?2q)?0?q?12
即an?2，所以Sn?2n，故选择答案C。
，2，3，，4，56}4.设集合M?{1， S1，S2，?，Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的??aibi??ajbj??2，3，?，k}），都有min?，??min?，?Si?{ai，bi}，Sj?{aj，bj}（i?j，i、j?{1，?bjaj???biai??（min{x，y}表示两个数x，y中的较小者），则k的最大值是（ B ） A．10 B．11 C．12 D．13
5. 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an .
22
解析：解: ∵10Sn=an+5an+6， ① ∴10a1=a1+5a1+6，解之得a1=2或a1=3．
2
又10Sn－1=an－1+5an－1+6(n≥2)，②
22
由①－②得 10an=(an－an－1)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)．
当a1=3时，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
2
当a1=2时，a3=12， a15=72， 有a3=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3．
26.已知公比为q(0?q?1)的无穷等比数列?an?各项的和为9，无穷等比数列an各项的和为
2
??81. 5(I)求数列?an?的首项a1和公比q；
(II)对给定的k(k?1,2,3,?,n)，设T(k)是首项为ak，公差为2ak?1的等差数列，求T(2)的前10项之和；
?a1?a1?3?1?q?9????解: (Ⅰ)依题意可知,?22
q??a1?81?3?2?51?q??2?(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an?3????3?S10?10?2?n?1,所以数列T(2)的的首项为t1?a2?2,公差d?2a2?1?3,
1?10?9?3?155,即数列T(2)的前10项之和为155. 2★★★高考要考什么
本章主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．
高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查a1、d(q)、
n、an、Sn间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等
式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论．
高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：
（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力． （2）给出Sn与an的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．
（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力． 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．
★ ★★ 突 破 重 难 点
31?a?a?bn?1?1nn?1??44【范例1】已知数列{an}，{bn}满足a1?2，b1?1，且?（n≥2）
?b?1a?3b?1nn?1n?1??44（I）令cn?an?bn，求数列{cn}的通项公式； （II）求数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn．
解：（Ｉ）由题设得an?bn?(an?1?bn?1)?2(n≥2)，即cn?cn?1?2（n≥2） 易知{cn}是首项为a1?b1?3，公差为２的等差数列，通项公式为cn?2n?1． （II）解：由题设得an?bn?11(an?1?bn?1)(n≥2)，令dn?an?bn，则dn?dn?1(n≥2)． 22?an?bn?2n?1，11?易知{dn}是首项为a1?b1?1，公比为的等比数列，通项公式为dn?n?1． 由?解得 122an?bn?n?1??2111n2an?n?n?， 求和得Sn??n??n?1．
2222【变式】在等差数列?an?中，a1?1，前n项和Sn满足条件
（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）记bn?anpan(p?0)，求数列?bn?的前n项和Tn。
S2n4n?2?,n?1,2,?， Snn?1S2n4n?2a?a2得：1??3，所以a2?2，即
a1Snn?1an?nd?a1?2n2(a?nd?a)2(a?n?1)4n?2S2nnn12＝，所以an?n。 ???d?a2?a1?1，又
a?aan?1n?1Snan?a1n1?n2ann（Ⅱ）由bn?anp，得bn?np。所以Tn?p?2p2?3p3???(n?1)pn?1?npn，
n?1当p?1时，Tn?；
2当p?1时，
解：（Ⅰ）设等差数列?an?的公差为d,由
pTn?p2?2p3?3p4???(n?1)pn?npn?1， (1?P)Tn?p?p?p???p23n?1?p?npnn?1p(1?pn)??npn?1
1?p?n?1,p?1?2?即Tn??。 np(1?p)??npn?1,p?1??1?p（理）已知二次函数y?f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f'(x)?6x?2，数列{an}的前n项和为
Sn，点(n,Sn)(n?N?)均在函数y?f(x)的图像上。
（Ⅰ）、求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）、设bn?m1?，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn?对所有n?N都成立的最小正整数m；
20anan?12解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点(n,Sn)(n?N?)均在函数y?f(x)的图像上，所以Sn＝3n－2n. 2当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n－2n）－（3n?1)?2(n?1)＝6n－5. ?2?2?当n＝1时，a1＝S1＝3×1－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （n?N）
2（Ⅱ）由（Ⅰ）得知bn?11133?)， ＝＝(anan?1(6n?5)?6(n?1)?5?26n?56n?1故Tn＝
?bi＝
i?1n12111111?1?＝（1－）. (1?)?(?)?...?(?)??26n?177136n?56n?1??因此，要使
11m1m（1－）<（n?N?）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满26n?120220足要求的最小正整数m为10.
【范例2】已知函数f(x)?x2?x?1，?,?是方程f(x)=0的两个根(???)，f'(x)是f(x)的导数；设a1?1，
an?1?an?f(an)（n=1,2,??） f'(an) （1）求?,?的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有an>a； （3）记bn?lnan??（n=1,2,??），求数列{bn}的前n项和Sn。 an?a解析：（1）∵f(x)?x2?x?1，?,?是方程f(x)=0的两个根(???)，∴??115an(2an?1)?(2an?1)?a?an?144 ?an??an?22an?12an?12n?1?5?1?5； ,??22 （2）f'(x)?2x?1，an?154=(2an?1)?∴a2?1415?15?1，∵a1?1，∴有基本不等式可知a2?时取等号），?0（当且仅当a1?2an?1222?5?15?15?1，??，an?， ??（n=1,2,??）?0同，样a3?222(a??)(an??)an???(an?1??)，而?????1，即??1???， （3）an?1???an???n2an?12an?1(an??)2(an??)21??3?53?5an?1????ln?2ln，同理an?1???，bn?1?2bn，又b1?ln
2an?12an?11??23?5Sn?2(2n?1)ln3?5 22【文】已知函数f(x)?x?x?1，?、?是方程f(x)?0的两个根(???)，f?(x)是的导数
设a1?1，an?1?an?(1)求?、?的值；
f(an)，(n?1,2,?). f?(an)(2)已知对任意的正整数n有an??,记bn?lnan??,(n?1,2,?).求数列{bn}的前n项和Sn．
an??解、(1) 由 x?x?1?0 得x?2?1?5?1?5?1?5 ??? ??
22222an?an?1an?1 (2) f??x??2x?1 an?1?an? ?2an?12an?1an2?11?53?5?1?5?2?an?1?5an??an???a???2an?1??2an?122??2??n?2??? an?1??an?11?53?5?1?5??an??? 2?an?1?5an??an??2an?122?2?????2 ? bn?1?2bn 又 b1?lna1??3?51?5 ?ln?4lna1??23?51?5,公比为2的等比数列; 2?数列?bn?是一个首项为 4ln4ln? Sn?1?51?2n??1?52?4?2n?1?ln 1?22【变式】对任意函数f（x），x∈D，可按图示3—2构造一个数列发生器，其工作原理如下： ①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1＝f（x0）；
②若x1?D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2＝f（x1），并依此规律继续下去． 现定义f（x）=
4x?2． x?149，则由数列发生器产生数列｛xn｝．请写出数列｛xn｝的所有项； 65（Ⅰ）若输入x0＝
（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值； （Ⅲ）（理）若输入x0时，产生的无穷数列｛xn｝满足：对任意正整数n,均有xn＜xn＋1，求x0的取值范围． 解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域D＝（－∞?－1）∪（－1，＋∞） ∴数列｛xn｝只有三项x1＝
111，x2＝，x3＝－1 195（Ⅱ）∵f（x）＝
4x?22
＝x即x－3x＋2＝0，∴x＝1或x＝2 x?1即x0＝1或2时，xn＋1＝
4xn?2＝xn，故当x0＝1时，x0＝1；当x0＝2时，xn＝2（n∈N）
xn?1