周口师范本科毕业论文（设计）
1 在一阶方程中的应用
变换法在解微分方程中应用的实质是将我们不熟悉的微分方程通过变换法化为我们熟悉的，或者说是容易求解的微分方程，然后解出该方程, 最后将变量带回，以达到将一般的方法难以解出的方程简单的求解出的目的。
一阶常微分中许多方程的求解问题都可以转化为求解变量分离方程， 多种一阶微分方程都可通过变换法等方法， 最终转换成变量分离或者其它可求解类型的微分方程方程, 进而求出结果, 以下我们以可以转化为变量分离方程的微分方程为例子简单的阐述变量变换的应用.
步骤：（1）通过变换法将方程转化成变量分离方程. （2）分离变量.
（2）对方程两边同时积分, 整理通解. （3）根据初始条件来得到方程的特解. 1.1变量分离方程
我们定义变量分离方程为形如
dy?f(x)g(x) dx的微分方程为变量分离方程.
运用变量分离的方法将原方程化为
dy?f(x)dx g(y)的形式，然后将该方程左右两边进行积分，很容易就可以求解该方程，这是最基本的微分方程的类型，后面的许多其他类型我们最终也会通过适当的变换转化成该类型进行计算.
1.2齐次与可以经过变量代换化为齐次的常微分方程： 形如
dyy?f()，的方程称为齐次方程. dxx 通过变换法引入新变量令u?
y
或y?ux带入得 x
dux?u， dxf(u)?整理一下变为
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du1?[f(u)?u]， dxx可看做变量分离方程，分离变量得
dudu?.
f(u)?ux两端积分后得u，再将u?
y
带入即可得到齐次方程的解. x
一些方程可以通过简单的变量代转化为齐次方程，然后在用解其次方程的方式即可求解. 例 方程满足
dyax?b1y?c1?g(1), dxa2x?b2y?c2z的形式，由于系数的不同可以分成三种情况进行讨论，解题过程如下： （1）当c1?c2?0时，原方程即为
ydyx)?f(y), ?g(ydxxa2?b2xa1?b1为齐次方程,再令u?x即为变量分离方程. y（2）当c1,c2不全为零且可化为
aa1b1?（即行列式1a2b2a2b1ab?0)时令1?1??则原方程
a2b2b2?x?c1dy?(a2x?b2y)?c1)?f(x)), ?g()?f(a2x?b2y)(g(x?c2dxa2x?b2y?c2再令u?a2x?b2y易有
dudy?a2?b2. dxdx代入上式可得
dy?a2?b2f(u), dx即为变量分离方程计算依照前文所述即可得到结果.
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a1a1b1c,c12（3）当不全为零且??0（即行列式
a2b2a2时联立方程组
b1b2?0）
?a1x?b1y?c1?0,??a2x?b2y?c2?0.
不妨令其解为(?,?)，由于c1,c2不全为0，所以??0,??0. 进行坐标变换令
?X?x??, ?
?Y?y??,原式转化为
X?b1dYa1X?b1YY??Y?f()X, dXa2X?b2YaX?b22Ya1为齐次方程，利用分离变量的方法可以求解. 例1 解方程 解: 令u?dy2x?3y?. dx3x?2yy(y?ux)代入可得 xdy2(1?u2)x?, dx2u?3分离变量，左右同时积分，化简可得
(u?1)x4?c(u?1)，
将原变量带回，易得到方程的通解
(y?x)5?c(y?x).
例2 解方程
dy2x?3y?4? dx4x?6y?5 解: 令u?2x?3y带入可得
dyu?4?2?3. dx2u?5化简可得分离变量方程
dy7u?22?. dx2u?5
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分离变量左右两边积分，化简后得
9ln(u?227)?14(u?x?c), 72将u?2x?3y带回，可得到原方程的通解
9ln(2x?3y?223)?14(3y?x?c). 72 例3 解方程
dy2x?3y?7? dx3x?2y?8?x?2?2x?3y?7?0解: 由? , 解得?, 作如下坐标变换:
?3x?2y?8?0?y?1?X?x?2?x?X?2得?, ?Y?y?1y?Y?1??代回可得
dY2X?3Y?, dX3X?2Y左右积分后可得
(Y?X)5?c(Y?X).
代回原变量得原方程的通解
(y?x?1)5?c(y?x?3).
例4 解方程2xydy?4x2?3y2. dx 解: 左右同时除以xy将它化做齐次型：
dy4x2?3y2x3y??2()?(). dx2xyy2x令
v?
带入得到
dydv1xy
?v?x，?, ，y?vx，dxdxvyx
v?xdv23??v, dxv2即
dv2vv2?4x???. dxv22v
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于是
2v1dv??v?4?xdx,
可得到
ln(v2?4)?lnx?lnc,
得
y2v?4?cx 即 2?4?cx.
x2?y2?4x2?kx3（由于常数的任意性）.
1.3一阶线性方程： 一阶线性方程
dy?p(x)y?q(x) dx 其中p(x)，q(x)为已知函数, q(x)?0时为变量分离方程该方程通解为
?p(x)dxy?ce?,
当q(x)?0时用常数变异法作代换
?p(x)dxy?c(x)e?,
代入原方程得
?p(x)dxdc(x)?q(x)e?. dx从中解出c(x)，进而完成原方程求解，最后可求得其通解为：
y?e? 例1 解方程
p(x)dx(?q(x)e?p(x)dxdx?c)（这里的c为任意常数）.
dy1?. dxx?y 解: 令u?x?y所以
du1duu?1??1，即?. dxudxu变量分离，有
udu?dx, u?1两端积分
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