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7c2009 (湖南卷)理 二、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分
1 (D)2．（A）3．（D）4． [ B]5. [ C]6 [ B]7．（C） 8【D】
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上
9． _12__10． __7__(用数字作答)11、22.12、
613、50 。14 12 ；3 215、
101，…，f(n)= (n+1)(n+2) 36三． 16.（本小题满分12分）
解：设BC?a,AC?b,AB?c
由2AB?AC?3AB?AC得2bccosA?3bc，所以cosA?又A?(0,?),因此A?3 2?62
22由3AB?AC?3BC得bc?3a，于是sinC?sinB?3sinA?3 4所以sinC?sin(1335?3sinC)?，sinC?(cosC?，因此 ?C)?22464?2sinC?cosC?23sin2C?3,sin2C?3cos2C?0，既sin(2C?)?0
3?5???4?由A=知0?C?，所以?，2C??，从而
63336???2?2C??0,或2C???,，既C?,或C?,故
3363?2????2?A?,B?,C?,或A?,B?,C?。
63666317.解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件
A1,B1,C1，i=1，2，3.由题意知A1A2A3相互独立，B1B2B3相互独立，C1C2C3相互独立，
1A1,B1,C1（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且P（A1）=，P（B1）=，
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P（C1）=
1 61111= ??2366（1） 他们选择的项目所属类别互不相同的概率
P=3！P（A1B2C3）=6P（A1）P（B2）P（C3）=6?(2) 解法1 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为?，由己已知，?-B（3，），且?=3?。
131， 2722213() ()= P（?=1）=P（?=2）= C3 3392411()()2= P（?=2）=P（?=1）=C33392380P（?=3）=P（?=0）= C3 ()=
3271()=所以P（?=0）=P（?=3）=C3313故?的分布是
? P 0 1 2 3 12 2791248?的数学期望E?=0?+1?+2?+3?=2
2799274 98 27解法2 第i名工人选择的项目属于基础工程或产业工程分别为事件D1， i=1,2,3 ，由此已知，D1·D，D1相互独立，且 P（D1）-（A1，C1）= P（A1）+P（C1）=所以?--B(3,),既P(??K)?C3()()
故?的分布列是
112+= 263，k?0,1,2,3.
23K23K133?K? p 0 1 2 3 1 272 9京翰教育http://www.zgjhjy.com/
4 98 27高考网 http://www.yaogaokao.com
18.（本小题满分12分）
解 （I） 如图所示，由正三棱柱ABC?A1B1C1的性质知AA1?平面A1B1C1 又DE?平面A1B1C1，所以DE?AA1.
而DE?AE。AA1?AE=A 所以DE?平面AC C1A1，又DE?平面ADE，故平面ADE?平面AC C1A1。
（2）解法1 如图所示，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- A1B1C1的性质及D是A1B的中点知A1B?C1D， A1B?DF
又C1D?DF=D，所以A1B?平面C1DF， 而AB∥A1B，所以
AB?平面C1DF，又AB?平面ABC，故 平面AB C1?平面C1DF。
过点D做DH垂直C1F于点H，则DH?平面AB C1。
连接AH，则?HAD是AD和平面ABC1所成的角。
由已知AB=2A A1，不妨设A A1=2，则AB=2，DF=2，D C1=3， C1F=5，AD=
AA1?AD2=3，DH=DH10=。 AD52DF·DC1302?3=—，
5C1F5所以 sin?HAD=
即直线AD和平面AB C1所成角的正弦值为
10。 5
解法2 如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设
A A1=2，则AB=2，相关各点的坐标分别是
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A(0,-1,0)， B（3，0，0）， C1（0，1，2）， D（
13，-，2）。
22易知AB=(3，1，0)， AC1=(0，2，2)， AD=(设平面ABC1的法向量为n=（x，y，z）,则有
13，-，2）
22?AB?3x?y?0,??n·??? ?AC1?2y?2z?0,??n·?解得x=-
3y， z=-2y， 3故可取n=(1，-3，6)。 所以，cos(n·AD)=n·ADn·AD=
2310?3=
10。 510。 5由此即知，直线AD和平面AB C1所成角的正弦值为
19.解 （Ⅰ）设需要新建n个桥墩，(n?1)x?m，即n=m?1 xmm所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x=256(-1)+(2?x)x
xx256x?mx?2m?256. ?x （Ⅱ） 由（Ⅰ）知，f'(x)??32256mx213m32?mx?2(x2?512). 22x 令f'(x)?0，得x?512，所以x=64
当0 当64?x?640时，f'(x)>0. f(x)在区间（64，640）内为增函数， 所以f(x)在x=64处取得最小值，此时，n?故需新建9个桥墩才能使y最小。 2220解（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则d?4(x?3)?y?3︳x-2︳ m640?1??1?9. x64京翰教育http://www.zgjhjy.com/ 高考网 http://www.yaogaokao.com 由题设 当x>2时，由①得(x?3)?y?6?221x, 2x2y2??1. 化简得 362722当x?2时 由①得(3?x)?y?3?x, 化简得y2?12x x2y2??1在直线x=2的右侧故点P的轨迹C是椭圆C1:3627部分与抛物线C2:y2?12x在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1 （Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2与C1，C2的交点都是A（2，26）， B（2，?26），直线AF，BF的斜率分别为kAF=?26，kBF=26. 当点P在C1上时，由②知PF?6?1x. ④当点P在C2上时，由③知 2则直线l的方程为y?k(x?3) PF?3?x ⑤若直线l的斜率k存在，（i）当k≤kAF，或k≥kBF，即k≤-2 N（x2，y2）都在C 1上，此时由④知 ，6时，直线I与轨迹C的两个交点M（x1，y1） 11x1 ∣NF∣= 6 - x2 22111从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 - x1）+ （6 - x2）=12 - ( x1+x2) 222∣MF∣= 6 - ?y?k(x?3)?2222由?x2y2 得(3?4k)x?24kx?36k?108?0 则x1，y1是这个方程的两根， ?1???3627124k212k2所以x1+x2=*∣MN∣=12 - （x1+x2）=12 - 23?4k23?4k2因为当k?26,或k?26时,k2?24, 京翰教育http://www.zgjhjy.com/