选修2-3复习
一、知识梳理
1.分类加法计数原理
原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N?m?n种不同的方法．
特点：两类方案中的任何一类的任何一种方法都可以完成这件事，并且两类方案中所有方法互不相同．
一般结论：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，?，在第n类方案中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N?m1?m2???mn种不同的方法．
注意事项：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，即做到“不重不漏”，才能用分类计数原理． 2.分步乘法计数原理
原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法．那么完成这件事共有N?m?n种不同的方法．
特点：两个步骤缺一不可，并且经过两个步骤恰好完成这件事．
一般结论：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，?，做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N?m1?m2???mn种不同的方法．
注意事项：在分步乘法计数原理中，完成一件事分为若干个有联系的步骤，只有前一个步骤完成后，才能进行下一个步骤．当各个步骤都依次完成后，这件事才算完成．但每个步骤中可以有多种不同的方法，而这些方法之间是相互独立的． 3.排列组合
（1）．排列：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列。相同的排列是指元素相同且顺序相同。
（2）．排列数：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用符号 排列数公式：（3）．全排列：
把n个不同的元素全部取出(从n个不同的元素中取出n个元素)，按照一定的顺序排成一列，叫做n个不同的元素的一个全排列，全排列的个数叫做n个元素的全排列数，用符号
表
表示。
北大校区：59799785 牡丹园校区：59798562 人大校区：59799892 学院路校区：59799544 示。此时，此：
=n(n-1)(n-2)??3·2·1=n！n!表示正整数1到n的连乘，叫做n的阶乘。 因
，规定：0!＝1。
（4）. 组合： 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合。
（5）．组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，用符号
表示，根据分步计数原理得到：
。
组合数公式：
（6）．组合数的性质： (1) ，规定：；(2) 。
4.条件概率与事件的独立性 （1）条件概率
一般地，若有两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下考虑事件A发生的概率，则称此概率为B已发生的条件下A的条件概率，记为P(A︱B).一般地，若P（B）>0，则事件B已发生的条件下A发生的条件概率是 P(AB)?P(AB) P(AB)?P(AB)P(B)。 P(B)（2）事件的独立性
设A, B为两个事件，如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件A与事件B相互独立.事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互独立相互独立事件同时发生的概率：P(A?B)?P(A)?P(B)
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积一般地，如果事件A1,A2,?,An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即
P(A1?A2???An)?PA(1?)PA(2??)?PAn(． )（3）独立重复性
独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验 独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次
kk独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率Pn(k)?CnP(1?P)n?k．它是?(1?P)?P?展
n开式的第k?1项 离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
kkn?kPn(??k)?Cnpq，（k＝0,1,2,…，n，q?1?p）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ 0 1 … P 00nCnpq 11n?1Cnpq … kkn?k由于Cnpq恰好是二项展开式
k … n nn0Cnpq kkn?kCnpq … 北大校区：59799785 牡丹园校区：59798562 人大校区：59799892 学院路校区：59799544 00n11n?1kkn?knn0(q?p)n?Cnpq?Cnpq???Cnpq???Cnpq
中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，
kkn?k记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记Cnpq＝b(k；n，p)．
5.离散型随机变量 （1）离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母 X , Y，?，?，… 表示．在此基础之上所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量. （2）离散型随机变量分布列
设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为P(??xi)?pi，则称表
ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 为随机变量的概率分布，简称分布列 离散型随机变量分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:0?P(A)?1，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴Pi≥0，i＝1，2，…；⑵P1+P2+…=1．对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即P(??xk)?P(??xk)?P(??xk?1)????（3）离散型随机变量的数学期望与方差
均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ P x1 p1 x2 p2 … … xn pn … … 则称 E??x1p1?x2p2?…?xnpn?… 为ξ的均值或数学期望，简称期望．
均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平
平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1?p2?…?pn，则有p1?p2?…?pn?11，E??(x1?x2?…?xn)?，所以ξ的数学期望又称为平均数、nn均值 均值或期望的一个性质:若??a??b(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为
ξ η P x1 x2 … … … xn … … … ax1?b p1 ax2?b p2 axn?b pn 于是E??(ax1?b)p1?(ax2?b)p2?…?(axn?b)pn?…
＝a(x1p1?x2p2?…?xnpn?…)?b(p1?p2?…?pn?…) ＝aE??b，
由此，我们得到了期望的一个性质:E(a??b)?aE??b
若ξ?B（n,p），则Eξ=np 证明如下：
北大校区：59799785 牡丹园校区：59798562 人大校区：59799892 学院路校区：59799544 kkkkn?k∵ P(??k)?Cnp(1?p)n?k?Cnpq，
00n11n?122n?2kkn?knn0∴ E??0×Cnpq＋1×Cnpq＋2×Cnpq＋…＋k×Cnpq＋…＋n×Cnpq．
n!n?(n?1)!k?1??nCn?1，
k!(n?k)!(k?1)![(n?1)?(k?1)]!11n?200n?1k?1k?1(n?1)?(k?1) ∴ E??np(Cn＋…＋Cn＋…＋q?1p?1pq＋Cn?1pq又∵ kCn?k?kn?1n?10Cnq)?np(p?q)n?1?np． ?1p故 若ξ～B(n，p)，则E??np．
6．常用的分布 （1）两点分布
随机变量 X 的分布列是 ξ 0 1 p 1?p P 像上面这样的分布列称为两点分布列．EX?1?p,DX?p(1?p)
（2）二项分布
在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
kkn?kPn(??k)?Cnpq，（k＝0,1,2,…，n，q?1?p）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 0 1
00n11n?1P Cnpq Cnpq ＝b(k；n，p)．
…
…
k
kkn?kCnpq
…
…
n
nn0Cnpq
kkn?k称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记CnpqEX?np,DX?np(1?p)
（3）超几何分布
一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X件次品数，则事件 {X=k｝发生的概率为
kn?kCMCN?MP(X?k)?,k?0,1,2,?,m, nCN其中m?min{M,n}，且n?N,M?N,n,M,N?N．称分布列
m X 0 1 … P 0n1n?1CMCNCMCN?M?M nnCNCN?… mn?mCMCN?M nCN为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布.
EX?nMnMMN?n,DX?(1?) NNNN?1频率/组距总体密度曲线7．正态分布 总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组北大校区：59799785 牡丹园校区：59798562 人大校区：59799892 学院路校区：59799544 Oab单位距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．
它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．
观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：
?12??,?(x)?e2?,x?(??,??)
2??式中的实数?、?(??0)是参数，
(x??)2分别表示总体的平均数与标准差，??,?(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．
一般地，如果对于任何实数a?b，随机变量X满足
P(a?X?B)????,?(x)dx,
ab则称 X 的分布为正态分布．正态分布完全由参数?和?确定，因此正态分布常记作N(?,?2)．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X～
N(?,?2).
经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．
（1）正态分布N(?,?)）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布
通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响 （2）．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质 （3）．正态曲线的性质：
①曲线在x轴的上方，与x轴不相交 ②曲线关于直线x=μ对称 ③当x=μ时，曲线位于最高点 ④当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近 ⑤μ一定时，曲线的形状由σ确定 σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散； σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：
2北大校区：59799785 牡丹园校区：59798562 人大校区：59799892 学院路校区：59799544