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2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题
(1) 设生产函数为Q?AL?K?, 其中Q是产出量, L 是劳动投入量, K 是资本投入量,而
A, α, β均为大于零的参数,则当Q =1时K关于L的弹性为 (2) 某公司每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2 百万.若以Wt表示第t 年的 工资总额(单位：百万元)，则Wt满足的差分方程是___
?k?1(3) 设矩阵A???1??11k1111k11?1??,且秩(A)=3,则k = 1??k?(4) 设随机变量X,Y 的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5.则根据切比雪夫不 等式PX-Y?6? . (5) 设总体X服从正态分布N(0,0.2),而X1,X2,2??X15是来自总体X的简单随机样本，则随
2X12??X10机变量Y?服从___分布，参数为_______ 222?X11??X15?
二、选择题
(1) 设函数f (x)的导数在x=a处连续,又limx?af'(x)??1,则( ) x?a(A) x = a 是f (x)的极小值点. (B) x = a 是f (x)的极大值点. (C) (a, f(a))是曲线y= f(x)的拐点.
(D) x =a不是f (x)的极值点, (a, f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点.
(2) 设函数g(x)??x0?12(x?1),0?x?1??2,则g(x)在区间(0,2) 内( ) f(u)du,其中f(x)??1?(x?1),1?x?2??3a13a23a33a43a14??a14?aa24??,B??24?a34a34???a44??a44a13a23a33a431
(A)无界 (B)递减 (C) 不连续 (D) 连续
?a11?a21(3) 设A???a31??a41
a12a22a32a42a12a22a32a42a11??0?0a21??,P??a31?1?0??a41??1001?100??, 010??000? Born to win
?1?0P2???0??0001001000?0??,其中A 可逆,则B?1等于( ) 0??1??1?1?1(A)A?1PP12 (B)P1AP2 (C)PP12A (D)P2AP1.
(4) 设A 是n 阶矩阵，α是n维列向量.若秩??A??T????秩(A)，则线性方程组( )
0?(A)AX =α必有无穷多解 (B)AX =α 必有惟一解.
?A(C)?T?????X??A仅有零解 (D)?0????T0??y??????X?????0必有非零解.
0??y?(5) 将一枚硬币重复掷n 次,以X和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于( )
(A) -1 (B) 0 (C)
1 (D) 1 2
三 、(本题满分5 分)
设u= f(x,y,z)有连续的一阶偏导数,又函数y=y(x)及z=z(x)分别由下列两式确定:
exy?xy?2和ex??x?z0sintdudt,求 tdx
四 、(本题满分6 分)
已知f (x)在(?∞,+∞)内可导,且limf'(x)?e,lim(x??x??x?cx)?lim[f(x)?f(x?1)], 求c的值.
x??x?c五 、(本题满分6 分)
求二重积分
??y[1?xeD122(x?y)2]dxdy的值,其中D 是由直线y=x, y= ?1及x =1围成的平面
区域
六、(本题满分7 分)
已知抛物线y?px?qx(其中p<0,q>0)在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S.
(1) 问p和q为何值时，S达到最大? (2)求出此最大值.
2
七、(本题满分6 分)
设f (x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足f(1)?k证明：存在ξ∈(0,1), 使得f'(?) ? 2(1??)f(?).
2
?1?130xe1?xf(x)dx,(k?1).
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八、(本题满分7 分)
已知fn(x)满足fn'(x)?fn(x)?xn?1ex(n为正整数)且fn(1)?e,求函数项级数 n?fi?1?n(x)之和.
九、(本题满分9 分)
?11a??1?????设矩阵A?1a1,??1.已知线性方程组AX =β有解但不唯一,试求: ???????a11????2??(1) a的值;
(2) 正交矩阵Q,使QTAQ为对角矩阵.
十、(本题满分8 分)
设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A?aij??n?n中元素aij的代数余子式(i,j
=1,2,…,n)，二次型f(x1,x2,xn)???i?1j?1nnAijAxixj.
nn(1) 记A?(x1,x2,型f(X)的矩阵为A;
?1xn),把f(x1,x2,xn)???i?1j?1AijA并证明二次xixj.写成矩阵形式，
T(2) 二次型g(X)?XAX与f(X)的规范形是否相同？说明理由.
十一、(本题满分8 分)
生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的,假设每箱平均重50 千克,标准差为5千克.若用最大载重量为5 吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保障不超载的概率大于0.977. (Φ(2)=0.977,其中Φ(x) 是标准正态分布函数).
十二、(本题满分8 分)
设随机变量X 和Y 对联和分布是正方形G=求随机变量U={X?Y} 的概率密度p(u).
3
{(x,y)|1≤x≤3,1≤y≤3}上的均匀分布，试
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2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题 (1)【答案】?? ?【使用概念】设y?f?x?在x处可导，且f?x??0，则函数y关于x的弹性在x处的值为
Eyxx?y??f??x? Exyf?x?【详解】由Q?ALK，当Q?1时，即ALK?1，有K?A?L性为：
1?????d?AL???dL?????1???,于是K关于L的弹
EKL?K??ELKLAL?1????1?????1???A?L?????L?? ??1?A?L
????(2)【答案】 1.2Wt?1?2
【详解】Wt表示第t年的工资总额，则Wt?1表示第t?1年的工资总额，再根据每年的工资总额比上一年增加20％的基础上再追加2百万，所以由差分的定义可得Wt满足的差分方程是：
Wt?(1?20?)Wt?1?2?1.2Wt?1?2
(3)【答案】-3
【详解】
方法1：由初等变换(既可作初等行变换，也可作初等列变换).不改变矩阵的秩，故对A进行
初等变换
?k?1A???1??11k1111k11??k?1?k1??1行?(?1)分别加到2,3,4行??1?k1???k??1?k111?k?100?? 0k?10??00k?1? 4
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11??k?31?0?k?100? 2,3,4列分别加到1列??00k?10???00k?1??0可见只有当k =?3时，r(A)=3.故k =?3.
方法2：由题设r(A)=3，故应有四阶矩阵行列式A?0.由
k1A?111k1111k11k11?k1行?(?1)分别加到2,3,4行11?kk1?k111k?100
0k?1000k?1k?31110k?100?(k?3)(k?1)3?0, 2,3,4列分别加到1列00k?10000k?1解得 k =1或k = ?3. 当k =1时，
?1?1A???1??1111111111??1?01??1行?(?1)分别加到2，3，4行??01???1??0100010001?0?? 0??0?可知，此时r(A)=1，不符合题意，因此一定有k =?3. (4)【答案】
1 12【所用概念性质】切比雪夫不等式为：PX?E(X)?????D(X)?2
期望和方差的性质：E(X?Y)?EX?EY；D(X?Y)?DX?2cov(X,Y)?DY 【详解】 把X?Y看成是一个新的随机变量，则需要求出其期望和方差. 故 E(X?Y)?EX?EY??2?2?0 又相关系数的定义：?(X,Y)?cov(X,Y)
DXDY则 cov(X,Y)??(X,Y)DXDY?(?0.5)?1?4??1
D(X?Y)?DX?2cov(X,Y)?DY?1?2?(?1)?4?3
所以由切比雪夫不等式：
5