也在这个平面内，因此它的运动轨迹不会越出这个平面，由于洛伦兹力永远垂直于粒子的速度，它只改变粒子运动的方向，不改变其速率v，因此粒子在上述平面内作匀速圆周运动。设粒子的质量为m，圆周运动的半径为R，则粒子作圆周运动时的向心加速度为a?v2/R。这里维持粒子作圆周运动的向心力就是洛伦兹
??力，因v与B垂直，sin??1，洛伦兹力的大小为F?qvB，其中q为粒子的电荷，按照牛顿第二定律F?ma，有
mv2 qvB?
R由此得轨道的半径为 R?mv （12） qB(12)式表明，R与v成正比，与B成反比。 粒子回绕一周所需要的时间（即周期）为 T?2?R2?m? （13） vqB而单位时间里所绕的圈数（即频率）为
1qB （14） ?T2?m?叫做带电粒子在磁场中的回旋共振频率。上式表明，回旋共振频率与粒子的速 ??率和回旋半径（又称拉莫尔半径）无关。
??3.2.3 粒子的初速度v0与B成任一夹角时[6]
??? 在普遍的情形下，v与B成任意夹角?.这时我们可以把v分解为v//?vcos??和v??vsin?两个分量，它们分别平行和垂直于B。
??现在我们设B?Bk，则
??? ma?qv?B （15）
drdr?qB令 WL?，（1）式为2?WL ?k （16）
dtdtm
9
2??其分量形式为
d?dx?dy ?WL??dt?dt?dtd?dy?dx??W L?dt?dtdt??d?dz??0 （17） ??dt?dt?
对上式积分得，
dx?v?cosW(Lt??) dtdy ??v?sinW(Lt??)
dtdz ?v// （18）
dt 再积分得 x?v?sinW(Lt??)?x0 WLv?cosW(Lt??)?y0 WL y? z?v//t?z0 （19）
已知v与v0都是常数，且?也是常数，则v?、v//、?、x0、y0和z0都是常数。若只有v//分量，磁场对粒子没有作用力，粒子将沿B的方向（或其反方向）
?作匀速直线运动。若只有v?分量，则粒子在与B垂直的平面内作匀速圆周运动。当两个分量同时存在时，粒子的轨迹将成为一条螺旋线(图5)，其螺距h(即粒子每回转一周时前进的记录)为
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图5 带电粒子在磁场中的螺旋运动
h?v//T?2?mv// （20） qB它与v?分量无关。
而螺旋半径为 R?mv? （21） qB6420.00.51.00.51.00.0?0.5?1.0?1.0?0.5 图6 利用mathmatic模拟的螺旋线
图6是利用mathamtic生成的模拟图像，在这里我们发现与标准的螺旋线之间存在细微差异，但是我们仔细观察会发现，整个图像的趋势依然和标准螺旋线保持一致。与标准螺旋线之间的细微差异，主要是由于我们在模拟过程中输入的螺旋线方程不同于标准螺旋线方程，其中涉及了一些物理参量，从而造成图像在直观上与标准螺旋线存在差异，但是整个图像的走势完全符合标准螺旋线。如果我们在模拟过程中对于时间t的取值过大，则会造成图像过于密集而难以辨认，所以我们在生成图像的过程中，最好选择时间t的取值在?0,25?，这样生成的图像
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与标准螺旋线最为接近。
上述结果是一种简单的磁聚焦原理。我们设想从磁场某点A发射出一束很窄
?的带电粒子流的速率v差不多相等，且与磁感应强度B的夹角?都很小,则 v//?vco?s?v v??vsin??v?
由于速度的垂直分量v?不同,在磁场的作用下,各粒子将沿不同半径的螺旋线前进。但由于它们速度的平行分量v//近似相等，经过距离h?v//T?2?mv//≈
qB2?mv后它们又重新会聚在A?，这与光束经透镜后聚焦的现象有些类似,所以叫qB做磁聚焦现象。
上面所讲的是均与磁场中的磁聚焦现象，它要靠长螺线管来实现。然而实际上用的更多的是短线圈产生的非均匀磁场的聚焦作用，这里线圈的作用与光学中的透镜相似，故称为磁透镜。磁聚焦的原理在许多真空器件（特别是电子显微镜）中的应用很广泛。
3.3 带电粒子在均匀电磁场中的运动特性
???3.3.1 v0、E和B两两相互垂直[7]
?? 假设有一带电粒子质量为m，若带电量为q，E沿y轴正方向，B沿z轴正???方向，v0沿x轴正方向射入E、B共同作用的区域里，根据公式
???d?dr??? ma????qv?B?qE
dt?dt?可得
??d2rqE?qBdr?j??k ?2?dtmmdt ?WLdy??qEdx?? i???WL?j （22）
dtdt??m12
(22)式中WL?qB，其分量形式为 md3xqE2dx?WL 3?WLdtdtmd3y2dy?0 3?WLdtdtd2z 2?0 （23）
dt积分得
dx?v?cos(WLt??)?vE dtdy ??v?sinW(Lt??)
dtdz ?v// （24）
dt
其中v?、v//和?都是积分常数，由初始条件确定，vE?qEE?，再次积分得 mWLB x?v??WLt????vEt?x0 （25a) sinWLv?cosW(Lt??)?y0 （25b） WL y? z?v//t?z0 （25c） 式中x0、y0和z0都是积分常数，由初始条件确定[8]。当t?0时，x?y?z?0，
dydzdx??0，因此 ?v0，
dtdtdt x0?y0?z0?0， ??0 v??v0?vE v//?0 （26） 所以（25）式变为 x?v0?vEsinW(Lt)?vEt WLv0?vEcosW(Lt) WL y? z?0 （27）
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