得分 评阅人 一、填空题（将题目的正确答案填写在相应题目划线空白处. 共10个空，每空2分，共20分）
1111．行列式213= -3 。
0122．已知
A3?3?3，则2A? 24 。
?kx?4y?03．方程组?有非零解，则k= ±2 。
?x?ky?04．A??a?ij4?4,Aij是aij对应的代数余子式，则?a3iA2i? 0 。
i?145．向量???1,1,1?与????4,3a,1?正交，则a= 1 ；? 3 。
?123???6．矩阵A?012的秩为 2 。 ???024???7．已知矩阵A有特征值2，则3A?4A?2I2有特征值 6 。
8．已知矩阵A与B相似，且A的特征值1,2,3,0 则B的特征值为 1,2,3,0 。
0?1??1?? 。 229．二此型f?x??x1?2x1x3?x2x3?3x3对应的矩阵为 001/2????11/23???得分 评阅人 二、单选题（共10小题，每小题2分，共20分）
?123???1. 矩阵A?114中a23的代数余子式A23为（ d ）。 ???021????12??12?(a). ? (b). ?????02??02? 第1页共6页
暨南大学《线性代数》试卷A 考生姓名: 学号：
(c). 1202 (d). ?1202
2．下列陈述正确的是（ c ）。 (a). 矩阵A，B满足AB=0,则A=0或B=0 (b). 矩阵A，B，C满足ABC=ACB (c). A可逆，AB=AC,则B=C
(d). 矩阵A，B满足A2-B2=(A+B)(A-B)
3. 已知A2?3A?2I?0，则下列矩阵可逆的是（ a ）。 (a). A (b). A-I
(c).A-2I (d). 以上都不对。
4．若A,B都是对称矩阵，则下列矩阵不一定是对称矩阵的是（ a(a). AB (b). 3A+2B
(c). A-B (d). A2
5. 已知?1,?2,?3为Ax=b的解，则下列哪一个是Ax=0的解？（ (a). ?1?2?2??3 (b). ?1??2??3
(c). 13?1?13?2?13?3 (d).
?1??2??3
6.关于线性无关性，下列哪一个陈述是正确的？（ c ） (a). 线性相关的向量组一定含有零向量。
(b). 线性相关的向量组一定含有线性相关的部分组。 (c). 线性无关的向量组添加向量后可能变成线性相关的。 (d). 线性相关的向量组添加向量后可能变成线性无关的。
7. A5?6x?0的一个基础解系为v1,v2,v3，则下列陈述正确的是（ (a). A的秩为2。
(b). v1?v2,v2?v,3v?3v也是A5?6x?0的一个基础解系。 (c). v1?v2,v2?v3,v3也是A5?6x?0的一个基础解系。 (d). A的行向量组线性无关。
８. 如果n阶方阵A与B相似，则下列结论不正确的是（ a ）
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） a ）．c ）
(a). A与B有相同的特征向量 (b). A与B有相同的秩 (c). A与B有相等的行列式 (d). A与B有相同的特征值 9 可对角化的矩阵为（ a ） (a). 对称矩阵 (b).可逆矩阵
(c). 有n个特征值的矩阵 (d). 不可逆矩阵.
10. 下列矩阵为正定矩阵的是（ d ）
?1??1??? (b). ?2? (a). 2???????3?0???????1??1??? (d). ?? (c). ?22????
?????13????
得分 评阅人 三、解答题（共5小题，共54分）
?x1?x3?3x5?4?x?x?3x?5x?9?12351．通过齐次线性方程组基础解系的方法求解?（14分）
?x1?x2?x3?x4?2x5?5??2x1?x2?x4?5x5?9 第3页共6页
暨南大学《线性代数》试卷A 考生姓名: 学号：
?10?11?A,b????1?1??2?1解
?1010?0120???0001??000014?3059????????????????????2??1125??0159? 34?25????????????????????????5?16??00?TT03则Ax=0的一个基础解系为
v1???1?2100?,v2???3?20?11??????????9?
则Ax=b的一个特解为
v??45600??????????????????????????11?
从而Ax=0的一般解为k1v1?k2v2,?k1,k2
从而Ax=b的一般解为v?k1v1?k2v2,?k1,k2???????????????14?
T?22?2??。2. 化f?x??xTAx为规范型，其中A??25?4??（10分）
??2?45???参考之一：
22f?x??xTAx?2x12?4x1x2?4x1x3?5x2?8x2x3?5x3???2?
?2?x1?x2?x3??3?x2?x3?232252?x3????????????????6? 3230??2??2? ?3?3?5??3???y1??令?y??2??y?3??则
??22?x1?x2?x3??，由Y到X的线性替换矩阵为非退化2?3?x2?3x3??0?5x3?3?0?22f?x?化为规范形y12?y2?y3???????????????????10?
参考之二：A的特征值为?1??2?1,?3?10.??????????????3?
矩阵A的正惯性指标为3。?????????????????????7?
第4页共6页
矩阵A的规范形为
22y12?y2?y3???????????????????????????????10?
?1?33．求矩阵A的行列式和逆矩阵，其中A???0??1200?400?? (10分). 121??011?120034001221A?????2????????????????4?
012134111011100???2?3/2?1/200??????????????10? A的逆矩阵为A?1????7/23/21?1???11/2?5/2?12??4．求向量组?1??1112?,示。（10分）
?2??0101?,?3??2527?,
?4??1011?的一个极大无关组，并把其它的向量由这个极大无关组线性表
?1021??1150?TTT????????????2? 解：构造矩阵A???1T,?2,?3,?4????1021???2171???1021??013?1????????????????????????????4? ???0000???0000??则?1,?2是该向量组的一个极大无关组
?3?2?1?3?2，?4??1??2????????????????????10?
5．求矩阵A的全部特征值和特征向量，并判定A能否相似于对角矩阵, 其中
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暨南大学《线性代数》试卷A 考生姓名: 学号：
??110??（10分）
A???430???102???解：
?I?A?0得 ?1??2?1,?3?2????????????????????3?
2,?1?T当?1??2?1时，??1I?A?x?0的一个基础解系为v1??1,对应于?1，所以矩阵A
??2?1的特征向量为c1v1(c1?0)?????????????????6?
0,1?T当?3?2时，??3I?A?x?0的一个基础解系为v2??0,，所以矩阵A对应于
?3?2的特征向量为c2v2(c2?0)??????????????????????9?
由于A只有两个线性无关的特征向量，所以不能与对角矩阵相似。?????????10'
得分 评阅人 四、判断题（6分）
是线性无关的，?1??1??2??3??，?2,?3,?44已知向量组?1,?2??1?3?2?2?3?4?4， ?3?2?1??3??4，判定向量组?1,?2,?3线性
相关还是线性无关，并给出理由。（6分）
解：?1,?2,?3线性相关. ????????????????????????2?
k1?1?k2?2?k3?3?0,即?k1?k2?2k3??1???k1?3k3??2??k1?2k2?k3??3??k1?4k2?k3??4=0
?k1?k2?2k3＝0?k1?k2?2k3＝0??k??k?3k ＝0?3k3 ＝0有非零?31由?1,?2,?3,?4的线性无关性，则?1由于??k?2k?k＝023?1?k1?2k2?k3＝0???k1?4k2?k3＝0?k1?4k2?k3＝0解，即?1,?2,?3线性相关. ????????????????????????6?
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