概率结课论文：概率论在统计物理学中的应用
概率论在统计物理学中的应用
作者：尹航
（英才学院、土木工程专业、1236007班、学号6123310701）
[摘要]宏观物体是由大量微观粒子所构成的，而微观粒子在永不停息的做无规则热运动。由于微观粒子的大量和无规则特点，无法对任意单独或固定数量的粒子进行讨论。而统计物理学正是采用概率论及数理统计的方法，认为宏观物理量是微观物理量的统计平均值，由此建立了宏观与微观量间关系。本文主要展示和分析了概率统计所建立的模型在“伽尔顿模板实验”、“理想气体的温度公式和压强公式”、“麦克斯韦气体分子速率分布律”和“M-B分布”这四个重要的统计物理实验及定律中的使用，体现了概率论在统计物理学发展过程中起到的巨大作用。
[关键词]概率统计；统计物理学；伽尔顿模板实验；麦克斯韦气体分子速率分布律；理想气体的温度公式和压强公式；“M-B分布”
引言——
在本学年大学物理的学习过程中，统计物理学以它研究对象的特殊性和概率统计模型
的广泛应用而区别与其他学科的章节。其中很多问题的解答都可以归结为概率模型的使用并应用概率论和随机过程的理论及方法加以研究。统计物理学正是根据对物质微观粒子统计特性的认识，用概率统计的方法，对由大量粒子组成的宏观物体的物理性质及宏观规律做出微观解释。
下面我们以“伽尔顿模板实验”、“麦克斯韦气体分子速率分布律”、“理想气体的温度公式和
压强公式”和 “M-B分布”为例，说明概率统计在统计物理中的应用。
一、伽尔顿模板实验
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如下图（1）所示，在一块竖直的木板上有规律地排列着许多钉子，模板的下端被隔
成许多等宽的狭槽，从顶部中央的漏斗形入口处可投入小球，板前覆盖玻璃，以使小球留在狭槽内，这个装置叫做伽尔顿板。
如果从入口投入一个小球，小球在下落过程中，将与若干个钉子相碰撞而不断地改变其运动方向，经过多次碰撞后会落入最下面的一个槽中。至于小球会落入哪个槽中是无法预测的，这是一个无规则的偶然事件，成为随机现象。随着投入的小球越来越多。则可观察到小球的分布总会呈现固定的趋势。
对最终的结果进行理论推导：
小球从上落入小槽途中与钉子相碰的次数都是相等的，设为 N，小球每次与钉子相碰后，它可能向左也可能向右运动。由钉子排列是左右对称的 ，则小球向右运动的几率p和向左运动的的，即项式分布可
次碰撞落入某槽过程中向右运动 n 次的几率为：
几率q是相等p=q=1/2。 由二知 ，小球经 N
P(n)= 【3】
及若以正中间的槽为0号槽，则小球落入距中间向右走n个槽的概率为P(n)。而由于装置的左右对称性，使得小球落入距中间向左走第n个槽的概率也为P(n)。
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由P(n)表达式的特点，小球落入槽的结果近似服从以中间槽为对称轴的正态分布。 图（2），（3），（4）为实验的一些效果图。(效果图及统计误差来自网络实验数据)
①当小球个数为80时，统计图为图1：误差为：
②当小球个数为200时，统计图为图3：误差为：
③ 当小球个数为5000时，统计图为图4：误差为：
20.40?20.00?100%?2.00 .00
从实验中可以看到，随着投入的小球数量的增多，看到落在各槽中的小球数目是不相
等的，靠近入口槽内的小球较多，离入口越远的槽内小球的数目越少。可以把小球按槽的分布用笔在玻璃板上画出一条曲线表示。当小球数目较多时，重复试验发现，每次得到的分布曲线近似重合。这个实验说明，个别粒子的运动是无规则的、偶然的，大量粒子的运动是确定的、必然的，遵从一定的规律。
（枷尔顿模板实验应用了二项分布和正态分布的一些性质来进行实验）
由伽尔顿模板实验结论：“个别粒子的运动是无规则的、偶然的，大量粒子的运动是确定的、必然的，遵从一定的规律”。我们可以进行对下面几个由概率统计模型推出的统计物理学中微观状态气体分子定律。
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二、 麦克斯韦气体分子速率分布律
分子在做热运动时，它们的分布是杂乱无章的，它们之间的相互碰撞是随机的，因分子的不断碰撞，它们的速度不可能保持整齐划一，气体分子运动速度的大小和方向的变化都是随机的。对每个分子而言。其某一时刻具有的速度是偶然的，但大量分子整体运动遵循统计规律。
麦克斯韦导出了在平衡态下，理想气体满足能量为?l????l1m?2的气体分子概率密度ρ2与ε1成反比例的指数关系：??Ae
由概率密度归一化条件
（其中A是归一化常数）。
???d??1得：A?1e?????ld?（其中Ω是气相体积元，满足
d??dxdydzd?xd?yd?z=dxdydz?2sin?d?d?d?）。
归一化积分I?e?????ld???π0sin?d??d??e002π??m2V2kT?d??4??e02??m2?2kT?2d?
32 利用正态分布积分公式
??0e??udu?21π1?m?， 得归一化常数A???。 ?2?I?2πkT?32
?m?将A值代入??d??1?d?????2πkT???， ?32?π0sin?d??d??e002π??m2V2kT?2d??m??4π???2πkT?
??0e?m2?2kT?2d??1
32m?m??2kT?22定义速度为v的分子概率密度为：f(?)?4π???e?2πkT?
综上，得到了函数f(?)是平衡态理想气体中分子按速率分布的概率密度函数，称为麦
克斯韦气体分子速率分布律， 表示速率?附近单位速率间隔内的分子数占气体总分子数的比例。例如，若气体总分子数为N，则速率?附近速率间隔????d?内的分子数是
dn?Nf(?)d?。
其函数曲线如图1所示:
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f(?) f(?) T1
O ?P
T2 ? O ?
图1 图2
除满足归一化条件外，函数f(?)还具有以下特点： （1） limf(?)?0， limf(?)?0；
??0??? （2）令
df=0， 得最概然速率vp，即取f(?)取最大值时的速率：?P?d?2KT?m2RT?如图1所示。
（3）当气体温度上升时，或用分子质量较小的气体代替分子质量较大的气体做实验，
f(?)的函数曲线将右移并变得平缓，如图2所示。
（麦克斯韦气体分子速率分布律的推导利用概率密度函数的特征及归一化条件）
三、 理想气体的温度公式和压强公式
运用概率统计的方法推导两个公式：温度公式和压强公式，以加深对理想气体和统计方法的理解。
1.温度公式
由连续型随机变量的期望求法，理想气体分子平均平动动能是?＝
1N??0?dn＝
1?2m??f(?)d?。将本文之前求得的f(?)计算公式代入上式，做分部积分，得到温度公20式：? =
3kT。它表明温度是气体分子热运动平均平动动能的量度，这就是温度的微观意2义。上式把温度这个宏观量与气体分子平动动能这个微观量的平均值联系了起来，是统计平均方法的典型体现。
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