重庆大学线代课程试题A 一 、填空题：（每题3分，共18分）
1．设四阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A的秩为 ________。
*122．设D?342341341241，Aij表示元素aij的代数余子式，则 23 A13?2 A23＋3A33 ＋4 A43＝________。 3.已知??12??4?6?X???21?， 则X?________。 34?????14．已知3阶方阵A的行列式A?2 ，则3A?_______。
5.设α,β,γ1,γ2是3维列向量，A?(α,2?1,3γ2),B?(β,γ1,γ2)，且A?18,B?2 则A?B?_______。
226．把二次型f?x1?8x1x2?10x2?4x2x3的矩阵表示为_______。
二 、单项选择题：（每题3分，共15分）
1． 设A，B是ｎ阶方阵，且AB?0，则（ ）
（Ａ）A?0 (B) B?0 (C) A,B至少有一个为零 （D）A,B都不为零 2． 设A，B，C是ｎ阶方阵，且AB?BA,AC?CA，则ABC＝（ ）
(A) ACB (B) CBA (C) BCA (D) CAB 3． 若α1,α2,?,αn线性相关，则向量组中（ ）
（A）至少一个向量可由其余向量线性表示。（B）至多一个向量可由其余向量线性表示。（C）没有一个向量可由其余向量线性表示。（D）任何一个向量可由其余向量线性表示。 4． 设A是m?n矩阵，则齐次线性方程组AX?0有非零解的充分必要条件为（ ）
（A）A的列向量组线性无关；（B）A的列向量组线性相关； （C）A的行向量组线性无关；（D）A的行向量组线性无关。 5． 设方阵A与方阵B等价，则有（ ）
（Ａ）A?B (B) A?B (C) AB?0 （D）B?0，则A?0
三 、计算题： 1．（8分）计算行列式：
1
41 D?1002．（8分）设A?11251202142 07?100??，求A*。
??220????415??3．（8分）求向量组α1?(1,2,1,3),α2?(4,?1,?5,?6),α3?(1,?3,?4,?7)的一个最大线性无关向量组。
?11?1???4．（12分）已知A?011，且满足关系式A?2B?AB，求矩阵B。 ????00?1????2x1?x2?x3?2??5．（14分）?取何值时，线性方程组?x1?2x2?x3??有惟一解，无解或有无穷多解？
?x?x?2x??223?1在无穷多解时求其通解。
?123???6．（10分）求矩阵A?213的特征值和特征向量，并问其特征向量是否两两正交。 ????335???1?17．证明：设?是矩阵A的特征值，若A可逆，则（1）??0；（2）?是A的特征值。
重庆大学线代(II)课程试题A卷（2004.4） 一 、填空题：（每题3分，共18分）
111111?1?11．已知方程?0，则其根为 ________。
1?11?1x?1?112．A是任意阶方阵。若AA?E，则 A?________。
3.若n阶方阵A的秩R(A)?n?1，其则伴随矩阵A的秩为 ________。 4．齐次线性方程x1?x2???xn?0的基础解系的向量个数是_______。
225.使二次型f(x1,x2,x3)?5x1?4x1x2?x2?ax3?2x1x3?2x2x3正定的a的值为
2*T_______。 2
6．??2231??12?与?相似，则 x?_______。 ??12x??34??－二 、单项选择题：（每题3分，共21分）
1．设A是ｎ阶方阵，B是A经过有限次初等变换后所得到的矩阵，则有（ ）
（Ａ）A?B (B) A?B (C) 若A?0 ，则一定有B?0（D）若A?0，则
B?0
2．设A是4阶方阵，且A＝－3，则AA＝（ ）
(A) 9 (B) 3 (C) －3 (D) 1
3．若A是ｎ阶方阵，且A?0，则矩阵(E?A)?1＝（ ）
（A）E?A?A （B）E?A?A（C）E?A?A（D）E?A?A。 4．设矩阵A与矩阵B等价，A有一个r阶子式不等于零，则矩阵B的秩（ ）
（A）小于r；（B）等于r；（C）大于等于r；（D）小于等于r。 5．若向量组?1,?2线性无关，则有（ ） （Ａ）?1??2线性无关 (B)
2222553????（D）?1??2线性相关(C) k?1 线性无关（k为任意实数）
??k?1 线性相关（k为任意实数）
6． ｎ阶方阵A具有n个不同的特征值是A与一个对角阵相似的（ ） （A）充分必要条件；（B）充分条件；（C）必要条件；（D）既非充分也非必要条件。
????7． 设?1,?2是线性方程组Ax?b的解，则（ ）
??????????（A）?1??2是Ax?0的解；（B）?1??2是Ax?b的解；（C）k?1?l?2是Ax?0的
????解（k?l?1）；（D）k?1?l?2是Ax?b的解（k?l?1）。
??
三 、计算题（共48分）
1．（12分）验证：?1?(1,1,0),?2?(1,0,1),?3?(0,1,1)是3维向量空间R的一组基，并求向量??(2,0,0)在该基下的坐标。 2．（12分）求解矩阵方程AX?A?2X，其中
???3??423?? 3
A??110?????123???x1?2x2?2x3?0?3．（12分）设线性方程组?2x1?x2??x3?0的系数矩阵为A,3阶方阵B?0，且AB?0，
?3x?x?x?023?1试求?的值。
??102???4．（12分）求一个正交相似变换矩阵P，将实对称矩阵A?012化为对角阵。 ????220??四．证明题（共13分）
1．（7分）设?是ｎ阶可逆方阵A的一个特征值，试证明：??0，且 （1）
1?为A的特征值；（2）
?1A?为A的伴随矩阵A的特征值。
*?????2．（6分）设A是m?n矩阵，A的秩R(A)?r,b是n维列向量，?0,?1,?2??n?r为?????????试证明?1??0,?2??0,?,?n?r??0是方Ax?b(b?0)的n?r?1个线性无关的解向量。??程Ax?0的一组基础解系。
重庆大学线代(II)课程试题A卷（2004.12） 一 、填空题：（每题3分，共30分）
1． 在6阶行列式中，项a61a52a43a34a25a16的符号取_______。
?????????????2． 设4阶矩阵A???,?2,?3,?4?，A??,?2,?3,?4 其中?,?,?2,?3,?4均为4维列向
??量，且已知A?4,B?1，则行列式A?B?_______。
T3． 设A为n阶矩阵，且A?2，则AA?_______。
4． 向量组?1?(1,1,3,1),?2?(?1,1,?1,3),?3?(5,?2,8,?9),?4?(?1,3,1,7)的一个最大无
关组为_______。
5． 设f(x)?x2?2x?5,A???????1?2?，则f(A)＝_______。 ??21???A中有一元素aij的代数余子式Aij?0，6． 设A为n阶奇异阵，则齐次线性方程组Ax?0
的基础解系所含向量的个数为_______。
7． 已知3阶方阵A的三个特征值为1，－2，3。则A的特征值为_______。
8． 使二次型f(x1,x2,x3)?5x1?4x1x2?x2?ax3?2x1x3?2x2x3正定的a的取值为_。 4 222*????9．设?1,?2是线性方程组Ax?b的两个不同的解，A是m?n矩阵，R(A)?n?1,则??Ax?b的通解为_______。
?1?a?10．设n(n?3)阶矩阵A??a?????aaa?a?1a?a??a1?a?，若矩阵A的秩为n?1，则a＝______。
??????aa?1??二、简答题（每小题4分，共8分）
1． 设A,B为同阶方阵，若AB?0（零矩阵），问:
(1) 能否推出A?0或B?0，为什么？ (2) 能否推出A?0或B?0，为什么？
2． 设A,B为同阶方阵，那么A?B是正定阵吗？为什么？ 三、计算题（48分）
111111?1?11． 计算行列式D?的值。（8分）
1?11?1?1?1?11?1?30???2． 设A?01?1，AX?A?2X，求矩阵X。（8分） ???2??00?3． 设
问当k取何值时，?2??1,k?3??2,?1??3也线性无关？（8?1,?2,?3线性无关，
?????????分）
4． ?1??1,0,2,3?,?2?(1,1,3,5),?3?(1,?1,a?2,1),?4?(1,2,4,a?8),??(1,1,b?3,5).
??????????试决定（1）a,b为何值时，?不能表示成?1,?2,?3,?4的线性组合；
?????（2）a,b为何值时，?有?1,?2,?3,?4的惟一线性表示式，并写出该表示式。（12
分）
?1?11??200???,B??020?
4?25． 设矩阵A与B相似，且A?2????????3?3a???00b??（1） 求a,b之值； 5