2005级微积分（上）A理工课程试题及其答案 高等数学 老师：周世国
2005级微积分（上）A理工课程试题及其参考答案
一． 求下列极限
21． limx?xsinx1??limx??1x12sinx??11?00?1x??1?x2??1.
x1xx?exx?1x?2． limx?0?x?e?x?1?x??limx?01??x?1??x?e?1?x?ex?1??????elimx?0exx?1?e2.
3． lim?x?0sinx?xcosxcosx?sinx?xcosx等价lim??lim2x?0???????sinx?x?0xsinxx0????????0limxsinx2xx?0?0.
4． lim?x0sin?t?dt20???????x?0x?sinx0limsinx2x?01?cosx等价lim??????x122x?0?2.
2x二．求下列函数的导数或微分
1．y?xarcsinx2?4?x2，求
y//?arcsinx???x?arcsin?22??x2?12/??4?x2?/
?arcsinx2?x?x????x??2?1????2?12?12?4?x??4?x?2x2/?arcsinx2?x4?xx2?x4?x2?arcsin.
?1?2．y??1???x?1y，求dy解：两边取对数lny?xln?1???1???x?ln?1?x??lnx? x? 上式两边关于x求导，得：
y/1?1?x?11?1?1? ?ln?1?x??lnx?x????ln?x?ln?1?????1?xxxx1?xx1?x???? P1.
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所以，
y/??1?1?y?ln?1???x?1???x???x??1??1???x?x??1?1ln1?????x??1????， x? dy?y/dx??1??1???x?eyy??1?1ln1?????x?1????e?x??dx. x?3．设函数y?y?x?由方程
?xy?0确定，求
y//
解：方程两边同时关于x求导，得：
eyy/?e?x???y?x?/???0. 所以，?2?ey?x?y??y?e?x, 故
y/??y?e?xey.
?x?x?lnsint,dy.
.求4．设?2dx?y?tsint?costdy解：（一）
dydx?dtdxdt??sint?tcost??sintcostsint?tsint;
（二）
dd2xd?dy???ysint?tcostdt?dx????sint.tant?tsint. 2dxcostdtsint三．求下列积分
x1． ?1?xx?22dx?12?1?xxx2dx??1?x22dx?12x?1?1x2d1??x2??1???dx ??1?2?1?x??? ?ln1??2??x?arctanx?C.
?x?1?x?1dx?lnx1?x?1??1?dx ???x1?x??2．
?lnx?1?x?2dx?2lnx?1?lnxd分部???????????1?x1?x?? ?3．
?lnx1?x??x1dx??d?1?x?1?x?2lnx1?x2?lnx?ln?1?x??C
?2x??2??4?x25?xcosx??dx???x?24?x22dx?0?2?20x24?x2dx
?=2?204sint22cost.2costdt?32?20sintcos2??tdt?32??2sin?0??t2d??sin204?tdt?
?? P2.
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3!!???!!??32????2?.
4!!2??2!!24．已知
sinxx是f?x?的一个原函数，求
??xf?x?dx
2?/解：
???xf?x?dx1/?2???xdf?x??xf?x?|??2?2???f?x?dx?x?2?sinx???|??x?2/?sinxx|?2? ?42??1.
5．
???1ex?edx?2?x???ee2x1??ex?dx?2???d?e?x1e2??ex??1earctane|ex??1??4e.
四．设f?x???e0x?t22dt。
（1）研究f?x?的单调性及上（下）凸性；（2）研究f?x?的奇、偶性。
2解：（一）1．因为
f?x??e///x?2?0,x????,???，所以，f?x?在x????,???内单增；
2 2．又因为
f?x???xex?2故 （1）当x????,0?时，
//f?x??0,f?x?在x??0,???内
//是下凸的；（2）当x??0,???时，
f?x??0,f?x?在x??0,???内是上凸的。
（二）f??x???e0?xt?22dtt??u??????????e0xu?22??du????e0xt?22dt??f?x?,故f?x?为奇函数。
五．（1）在曲线y?x22上求一点，使该点处的切线与两坐标轴所围成的平面图形的面积为
13.；
（2）求由上述平面图形绕x轴旋转所生成的旋转体的体积。
22??x0?，则切线方程为y?x0??解：设切点为x0,?22???x?x?x?，
00即x?yx?0x220。
x0?所以，A??2?0???y??xx10???2y??dy?0?,解得：x0?2. ??2?243?x0??2 P3.
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于是，切点为?2,2?，切线方程为y?2x?2. 切线与x轴的交点为?1,0?，则所求旋转体的体积为
V?x??????2????2022dx??21??2x?2?x?02dx??4/.x|5520??.11.23?2x?2?|321?415?.
六．求微分方程
y////?y?0在初始条件y|?0,y|x?0?1下的特解。
解：微分方程
y?y?0的特征方程为r?1?0.其特征根为r??1.
2故方程通解为y?Ce1?x?C2e.代入初始条件y|xx?0?0,y|/x?0??C1?C2?0,.，得：?1后，????1??C1C21???,C1?1?2解得?.故原微分方程的特解为：y?21??C??22
?ex?e?x?.
P4.
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