概率统计 习题1-1
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1.(1)
2.
3
习题1-2
3．已知A,B是二事件，且P?A??0.5， P?B??0.7，P?A?B??0.8. 试求P?B?A?与P?A?B?.
解：因为P?AB??P?A??P?B??P?A?B??0.4，所以P?B?A??P?B??P?AB??0.3,
P?A?B??P?A??P?AB??0.1.
4．已知P?A??P?B??111，P?C??，P?AB??，P?BC??P?CA??0. 428试求A,B,C中有一个发生的概率.
解：P?A?B?C??P?A??P?B??P?C??P?AB??P?BC??P?AC??P?ABC?
因为P?ABC??P?CA?PBCA?0，而AC?ABC，所以P?AC??P?ABC??0，即P?AC??0. 故，P?A?B?C??P?A??P?B??P?C??P?AB??P?BC??P?AC??P?ABC?
??P?A?B?C??P?A??P?B??P?C??P?AB??7. 8
6．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有一件次品的概率.
12C5C4599解：设A表示“任取3件产品，求其中恰有一件次品”，则P?A??. ?3392C50
7．n个朋友随机地围绕圆桌就座，求其中两人一定坐在一起（即座位相邻）的概率.
解：设A表示“n个朋友随机地围绕圆桌就座，其中甲，乙两人一定坐在一起”，则按线状排列时，首先考虑将甲，乙两人排在一起，有2!种排法，然后把这两人视为一个元素，再与其它的?n?1?的元素作全排列，共有
2!?n?1?!?n?1??2. 2!?n?1?!种，于是P?A??2!?n?1?!种，而对应的环状排列有
n!n?1?n?1?n
9．设有N件产品，其中M件次品，今从中任取n件，
（1）求其中恰有k?k?min?M,n??件次品的概率；（2）求其中至少有两件次品的概率.
1
kn?kCMCN?M解：（1）设A为“从N件产品中任取n件，其中恰有k?k?min?M,n??件次品”，则P?A??. nCN新疆财经大学数学考研辅导班教学资料
（2）设B为“从N件产品中任取n件，其中至少有两件次品”，则考虑逆事件的概率有：P?B??1?PB，其中：B表示“从N件产品中任取n件，其中次品件数不多于两件”.
0n1n?1CMCN?M?CMCN?M于是，P?B??1?PB?1?. nCN????
习题1-3
1．已知PA?0.3，P?B??0.4，PAB?0.5，求条件概率PBA?B.
???????BB?P?AB??P?BB?P?AB? ?P?AB??P?A?B?P?A??P?B??P?AB?P?A??1?P?B??P?AB?因为P?AB??P?A?B??P?A??P?AB??0.5，所以P?AB??P?A??P?AB?.
P?AB?P?A??P?AB?1故，P?BA?B????.
P?A??1?P?B??P?AB?P?A??1?P?B??P?AB?42．已知P?A??0.5，P?B??0.6，P?BA??0.8，求P?AB?及P?A?B?.
解：PBA?B??解：P?AB??P?A?PBA?0.4；
??PA?B?PA?B?1?P?A?B??1?P?A??P?B??P?AB??0.3.
5．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项同时都投资的概率为0.19， （1）已知他已经投入基金，再购买股票的概率是多少？（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？ 解：设A“投入基金”，B“购买股票”，则P?A??0.58，P?B??0.28，P?AB??0.19，于是，已知他已经投入基金，再购买股票的概率是：PBA???????P?AB?0.1919??. P?A?0.5858已知他已购买股票，再投入基金的概率是：PAB???P?AB?0.1919??. P?B?0.28287．已知10只产品中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样.求下列事件的概率：（1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只正品，一只次品. 解：设A1,A2分别表示“第1，2次取的是正品”，则
8728??. 10945211??（2）PA1?A2?PA1PA2A1?. 10945（1）P?A1A2??P?A1?PA2A1?????????（3）PA1A2?A1A2?PA1A2?PA1A2?P?A1?PA2A1?PA1PA2A1
2
?????????????822816????. 10910945新疆财经大学数学考研辅导班教学资料
9．第一个盒子中有5只红球，4只白球；第二个盒子中有4只红球，5只白球.先从第一个盒子中任取2只球放入第二个盒子中去，然后从第二个盒子中任取一球，求取到白球的概率.
解：设B1“从第一只盒子中取得2 只红球”，B2“从第一只盒子中取得2 只白球”，B3“从第一只盒子中取得一只红球，一只白球”，A“从第二只盒子中取到一只白球”. 由全概率公式得：P?A???P?B?P?AB??18?11?6?11?9?11?99.
iii?135517565310．某产品主要由三个厂家供货. 甲、乙、丙三个厂家的产品分别占总数的15%，80%，5%.其次品率分别为0.02，0.01，0.03. 试计算：（1）从这批产品中任取一件是合格品的概率；（2）已知从这批产品中随机地取出的一件是不合格品，问这件产品由哪家生产的可能性大？
解：设B1，B2，B3分别表示“任取一件产品是甲，乙，丙厂生产的”，A表示“从这批产品中任取一件是合格品”则
P?A???P?Bi?P?ABi??0.15?0.02?0.8?0.01?0.05?0.03?0.0125.
i?1312．设有两箱同类零件，第一箱内装有50件，其中10件是一等品；第二箱内装有30件，其中18件是一等品，现从两箱中任选一箱，然后从该箱中依次随机地取出两个零件（取出的零件不放回），试求：（1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）在第一次取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率. 解：设A1,A2分别表示“第一，二次取得一等品”，B1,B2分别表示“取到第一箱，第二箱中的零件”. （1）由全概率公式得：P?A1??#（2）由全概率公式得：
?P?Bi?P?A1Bi??i?12101181????0.4. 502302P?A2A1??P?A1A2?P?A2?A1B1?A1B2??P?A2A1B1??P?A2A1B2? ??P?A1?P?A1?P?A1?110911817P?B1?P?A1B1?P?A2B1A1??P?B2?P?A1B2?P?A2B2A1?2?50?49?2?30?29 ??101181P?A1????502302?0.4856.
习题1-4
3．已知P?A??a，P?B??0.3，PA?B?0.7.
（1）若事件A与B互不相容，求a；（2）若事件A与B相互独立，求a. 解：（1）若事件A与B互不相容，则PA?B?PA?P?B??PBA
?????????PA?P?B??P?B?A??1?P?A??P?B??P?B??P?AB??1?P?A??P?AB?，因为A与B互不相容，
所以P?AB??0，从而PA?B?0.7?1?P?A??1?a?a?0.3.
????3
（2）若事件A与B相互独立，则PA?B?PA?P?B??PBA
???????PA?P?B??P?B?A??1?P?A??P?B??P?B??P?AB??1?P?A??P?AB?
?1?P?A??P?A?P?B?，从而PA?B?0.7?1?P?A??P?A?P?B??1?a?0.3a，故a?4．设A与B相互独立，且P?A???，P?B???，
求下列事件的概率：（1）P?A?B?；（2）PA?B；（3）PA?B. 解：（1）P?A?B??P(A)?P(B)?P(A)P(B)???????；
（2）PA?B?P(A)?PB?PAB，当A与B相互独立时，A与B也是独立的，则
??新疆财经大学数学考研辅导班教学资料
??3. 7????????P?A?B??P(A)?P?B??P?AB??P?A??P?B??P?A?P?B????1?????1???
???1?????；
（3）PA?B?PAB?1?P?AB??1?P?A?P?B??1???. 5．已知事件A与B相互独立，且PA?B???????1，PAB?PAB，求P?A?，P?B?. 9????解：PAB?PAB?P?A?B??P?B?A??P?A??P?AB??P?B??P?AB?
?????P?A??P?B?，从而有PA?PB.
当事件A与B相互独立时，事件A与B也独立，则PA?B???????111?PAPB?，于是PA?PB?，993????????P?A??P?B??2. 3111，，，问三人中至少有一人能将此密码5346．三个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为译出的概率为多少？ 解：设
A,B,C分别表示“甲，乙，丙能独立地译出此密码”，则
4233P?A?B?C??1?PA?B?C?1?PA?B?C?1?PAPBPC?1????.
53457．对同一目标进行三次独立射击，第一次、第二次、第三次射击的命中率分别是0.4,0.5,0.7，
求：（1）在这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率；（2）在这三次射击中，至少有一次命中目标的概率. 解：设A,B,C分别表示“第一，二，三次射击时命中目标”.
（1）PA?B?C?A?B?C?A?B?C?P?A?PBPC?PAP?B?PC?PAPBP?C?
??????????????????????????0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36.
（2）P?A?B?C??1?PA?B?C?1?PA?B?C?1?PAPBPC
??????????1?0.6?0.5?0.3?0.91.
9．设第一只盒子中装有3只兰球，2只绿球，2只白球；第二个盒子中装有2只兰球，3只绿球，4只白球，
4
独立地分别在两个盒子中各取一只球.（1）求至少有一只兰球的概率；（2）求有一只兰球，一只白球的概率；（3）已知至少有一只兰球，求有一只兰球一只白球的概率.
解：设A1,B1,C1分别表示“从第一只盒子中取出的球为兰，绿，白色的”，设A2,B2,C2分别表示“从第二只新疆财经大学数学考研辅导班教学资料
盒子中取出的球为兰，绿，白色的”.
（1）P?A1?A2??1?P?A1?A2??1?P?A1?A2??1?P?A1?P?A2??1?477?9?59; （2）P?A1C2?C1A2??P?A1C2??P?C1A2??P?A1?P?C2??P?C1?P?A2?
?347?9?27?29?1663. （3）P?A??A1C2?C1A2??A1?A2??1C2?C1A2A1?A2??PP?A，
1?A2?因为?A1C2?C1A2???A1?A2?，所以P??A1C2?C1A2??A1?A2???P?A1C2?C1A2?. 故，P?AA1C2?C1A2??A1?A2??P?A1C2?C1A2?1C2?C1A2A1?A2??P??P?A??1.
1?A2?P?A1?A2?3
习题2－1
2.
习题2－2
2．设随机变量X的分布律为P?X?k??aN,k?1,2,?,N,试确定常数a. 解：当X~P?X?xk??pk??Nk?1,2,??时，有
?pk?1，于是k?1?aN?aN?N?1， k?1故a?1.
3．一批产品共100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布律. 解：设X表示“任意取出的5个产品中的次品数”，则X的取值为：0,1,2,3,4,5. 以下求X取上述值时对应的概率.
051P?X?0??C410C90C5?0.5838，P?X?1??C10C905?0.3394， 100C100P?X?2??C233210C90C10C90C5?0.720，P?X?3??5?0.0064， 100C100P?X?4??C415010C90C10C90C5?0.00025，P?X?5??5?0. 100C100故，X~??012345???0.58380.33940.7200.00640.000250???.
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