理工大学考试试卷
2012～ 2013 学年第一学期
班级 学号 姓名 考试科目 线性代数（理工） A卷 闭 卷 共 3 页 ···································· 密························封························线································
学生答题不得超过此线
题号 一 二 三 四 总分 总分人 分数 得分 评卷人 一、单项选择（每小题2分，共20分） 1、若a1ia24a3ja41a55a66是六阶行列式中带正号的一项，则i,j之值为（ ）. （A）i?1,j?3 （B）i?2,j?3 （C）i?1,j?2 （D）i?3,j?2 2a?b2b，则D1与D2的关系为 （ ） 2c?d2dcd（A）D2?D1 （B）D2?2D1 （C）D2?3D1 （D）D2?4D1 3、设n阶方阵A、B、C满足ABC?E，则必有（ ） （A）ACB?E （B）CBA?E （C）BAC?E （D）BCA?E 2、设行列式D1?，D2?4、设A、B为三阶方阵，则2ATB?（ ） （A）2AB （B）4AB （C）6AB （D）8AB 5、设A为4阶方阵，当R(A)?3时，则R(A*)为（ ） （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 6、设A、B为n阶方阵，且R(A)?R(B)，则（ ） （A）R(A?B)?0 （B）R(A?B)?2R(A) （C）R(A,B)?R(A)?R(B) （D）R(A,B)?2R(A) 7、已知向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组中线性相关的是 ( ) （A）?1??2,?2??3,?3??1 （B）?1,?1??2,?1??2??3 （C）?1??2,?2??3,?3??1 （D）?1,3?3,?1?2?2 8、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知?1，?2，?3是它的三个解向量，则该方程组的通解为（ ） （A）k1(?1??2)??3 （B）k1(?2??3)??1??3 （C）k1(?1??3)?k2(?1??2)??1 （D）k1(?1??3)?k2(?2??3)??1 9、设A是三阶矩阵，A的特征值为?2,2,1，则在下列矩阵中为可逆矩阵的是（ ） (A) E?A (B) E?A (C) 2E?A (D) 2E?A 10、二次型f(x1,x2,x3)?x12?tx22?3x32?2x1x2当t?（ ）时，其秩为2。 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 得分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共18分） ab1251、若行列式13?2?0，则x? 。 25x2、设A、B为n阶方阵，则A2?B2?(A?B)(A?B)的充分必要条件是 。
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理工大学考试试卷
2012～ 2013 学年第一学期
班级 学号 姓名 考试科目 线性代数（理工） A卷 闭 卷 共 3 页 ···································· 密························封························线································
学生答题不得超过此线 3、设向量?1?(2,5,7,?9),?2?(?2,1,2,0),?满足2?1?3???2则?? 。 4、设向量??(1,1,1),??(0,1,1),??(1,0,t)，且?可由?,?线性表示，则t?_____ 5、设??(1,2,4,?2)T，??(2,?4,?1,2)T，则??,??? 。 6、已知三阶矩阵A的特征值为?1,1,2，则2A3?3A2? 。 得分 评卷人 三、计算题（第1-6小题每小题6分，第7、8小题每小题8分，共52分） 31?12?513?41、设行列式D?，计算A31?3A32?2A33?2A34的值，其中Aij表示行列式中元素aij的代数余子式。（6分） 201?11?53?3 ?300???2、设A??140?，求(A?2E)?1。（6分） 3、设三阶矩阵A??003????a11???1a1（6分） ??，求秩(A)。?11a??? ?x1?2x2?3x3?x4??9?x20???的一个特征值为?1，求。2x04、求非齐次线性方程组??x1?x2?x3 ??8 的通解。（6分） 5、设A?? x（6分）??? 3x?2x?7x??13?234??x92??
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理工大学考试试卷
2012～ 2013 学年第一学期
班级 学号 姓名 考试科目 线性代数（理工） A卷 闭 卷 共 3 页 ···································· 密························封························线································
学生答题不得超过此线 ?1???6、已知?1???1?,，求一组非零向量?2,?3，使得向量?1,?2,?3两两正交。（6分） ?1??? ?12?23?7、求矩阵A?(?1,?2,?3,?4,?5)??3?2??2?30?2?4??1?3?7?的列向量组?1,?2,?3,?4,?5的一个最大线性无关组，并把不属于最大 830??743?线性无关组的列向量用该最大线性无关组线性表示。（8分） 8、求一个正交变换x?Py，把二次型f(x1,x2,x3)?2x12?3x22?3x23?4x2x3化为标准形。（8分） 得分 评卷人 四、证明题 (每小题5分，共10分) 1、设A2?6A?8E?0，且A为n阶对称阵，证明A?3E为正交阵. 2、设向量组?1, ?2, ?,?r线性无关，?1??1,?2??1??2,?,?r??1??2????r证明：向量组?1,?2,?,?r线性无关.
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线性代数（理工）A卷参考答案与评分标准
2012～ 2013 学年第一学期
一、单项选择（每小题2分，共20分）
1 B
2 D 3 D 4 D 5 C 6 C 7 C 8 A 9 A 10 B 二、填空题（每小题3分，共18分）
1、
3A 3、(?2,?3,?4,6) 2、 AB?B
4、0 5、?14 6、20
三、计算题（第1-6小题每小题6分，第7、8小题每小题8分，共52分）
31?12?513?41、设行列式D?，计算A31?3A32?2A33?2A34的值，其中Aij表示行列式中元素aij的代数余子式。
201?11?53?3解：
31?12?513?4 …… 2分 A31?3A32?2A33?2A34?13?221?53?30?85?4?85?4?85?4016?76??16?76?032?24 …… 6分 13?22?85?500?10?85?5
?300???
2、设A??140?，求(A?2E)?1。
?003????100???解：A?2E??120? …… 2分
?001???
?1001100100100100?????1????(A?2E?E)??120 010???020 -110???010-2?001001??001001???????0010?
00??10? …… 5分 2?01???1?1?1故(A?2E)????2?0?
0??10? …… 6分 2?01??0?a11???3、设三阶矩阵A??1a1?，求秩(A)。
?11a???
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1a?a11??11a??1???????1?a解：A??1a1???1a1???0a?1? …… 3分
?11a??a11??00(1?a)(a?2)???????故当a?1时，R(A)?1；当a??2时，R(A)?2；当a?1且a??2时，R(A)?3。 …… 6分
?x1?5x2?2x3?3x4?11?4、求非齐次线性方程组?5x1?3x2?6x3?x4??1的通解。（6分）
?2x?4x?2x?x??6234?14??1 0 0 3??3? 1 2 3 1 -9??1 2 3 1 -9???13????解：B??-1 1 1 0 -8???0 3 4 1 -17??? 0 1 0 -3? …… 3分
??3?0 3 2 7 -13??0 0 1 -3 -2???????0 0 1 -3 -2???????4???3??3??x1???????x13?????3?2??于是通解为： …… 6分 ?C1???x3?3???2???????3???0??x4??1???
?x20???5、设A?2x0的一个特征值为?1，求x。（6分） ????x92??解：因为矩阵A的一个特征值为?1
?1???6、已知?1???1?,，求一组非零向量?2,?3，使得向量?1,?2,?3两两正交。（6分）
?1???
?12?237、求矩阵A?(?1,?2,?3,?4,?5)???3?2??2?3 解：
0?2?4??1?3?7?的列向量组?1,?2,?3,?4,?5的一个最大线性无关组，并把不属于最大 ?830?743?线性无关组的列向量用该最大线性无关组线性表示。（8分）
?12?23A?(?1,?2,?3,?4,?5)???3?2??2?3
0?2?4??1 0 2 0 -2????1?3?7??0 1 -1 0 3? ?830??0 0 0 1 4????743??0 0 0 0 0?8、求一个正交变换x?Py，把二次型f(x1,x2,x3)?2x1?3x2?3x3?4x2x3化为标准形。（8分）
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?2 0 0???解：A??0 2 1?
?0 1 2?????0??1P???2??1??2100?0??1? ?2?1??2?f?y12?2y22?5y23
得分
2评卷人 四、证明题 (每小题5分，共10分)
1、设A?6A?8E?0，且A为n阶对称阵，证明A?3E为正交阵.
2、设向量组?1, ?2, ?,?r线性无关，?1??1,?2??1??2,?,?r??1??2????r证明：向量组?1,?2,?,?r线性无关.
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