几何变换之对称和平移（竞赛专用）
一、对称变换
1、设正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是边BC上的任意一点，PA+PM的最
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大值和最小值分别记为s和t，则s-t= 。
2、如图，在△ABC内取一点M,使∠MAB=∠10°，∠MBA=30°，设∠ACB=80°，AC=BC, 求∠AMC的度数
3、在△ABC中，AH是高，H在BC边上，已知∠BAC=45°，BH=2，CH=3，求△ABC的面积。
4、如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若再AC、AB上个取一点M、N，使BM+MN的值最小，试求出这个最小值。
CAMBABHC 1
5、如图，点P、Q、R分别是Rt△ABC的AB、BC、CA上的点，斜边AB上的高CD=4，则△PQR周长的最小值为 。
6、正方形ABCD的边长为a，凸四边形PQRS的四个顶点分别在边AB、BC、CD、DA上，则四边形PQRS周长不小于 。
SD A
P
R
BQC
二、平移变换
（一）平行四边形与平移
由于在平移变换下，与平移方向不平行的线段变为与之平行且相等的线段。因此，对
于已知条件中有平行四边形的几何问题，我们可以考虑用平移变换。
DBPQARC阅读下面材料：
例：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO和△CDO均为等腰直角三角形, ?AOB=?COD =90?．若△BOC的面积为1， 试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积．
图1 图2
小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长
C O B
C O B A
A E
D D CO到E, 使得OE=CO, 连接BE, 可证△OBE≌△OAD, 从而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD
2
的长度为三边长的三角形（如图2）．
请你回答：图2中△BCE的面积等于 ． 请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：
如图3，已知△ABC, 分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI, 连接
EG、FH、ID．
（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长 度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
（2）若△ABC的面积为1，则以EG、FH、ID的长度为
三边长的三角形的面积等于 ．
练习题：设P是矩形ABCD内一点，请做出一个四边形，使它的对角线互相垂直，长度分别为AB、BC，且四条边的长分别等于PA、PB、PC、PD.
（二）共线相等线段与平移
因为在平移变换下，与平移方向平行的线段变为与之共线且相等的线段。所以，对于已知条件中有共线且相等的线段的几何问题，可以考虑用平移变换处理。 如：B、C是△PAD的边AD上的两点，且AB=CD，求证：PA+PD＞PB+PC
I
H
B D A C
E G
F
ADPBC 3
（三）不共线线段与平移
两条线段既不平行也不共线，但是我们可以通过平移变换其中一条线段，使两条线段有一个公共端点，并且可以形成等腰三角形或其他特殊三角形，再利用特殊三角形的性质及相关条件使问题解决。
如：①在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，D为AC延长线上一点，M为BD的中点，AD=BC.求证：AM⊥MC。
②设线段AB与CD相等，且夹角∠AEC=60°，求证：AC+BD≥AB。
ABCMD
7、（1）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD+BC=3，AC=3，BD=6，求梯形ABCD的面积。
（2）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M是CD的中点，MN⊥AB于N.设AB=a,MN=h，求梯形ABCD的面积。
4
8、在矩形ABCD内取一点M，使∠BMC+∠AMD=180°，则∠BCM+∠DAM的值为 。 AD M
BC
9、设P是平行四边形ABCD内一点，∠PAB=∠PCB。求证：∠PBA=∠PDA.
10、如图，∠A＝∠B，AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，垂足分别为A1，P1，B1，AA1＝17，PP1＝16，BB1＝20，A1B1＝12，则AP＋PB等于 .
11、如图，由平行四边形ABCD的顶点B引它的高BK和BH，已知KH=a，BD=b，求点B到△BKH的垂心H1的距离。
BH1AK
CHD
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12、已知△ABC的面积为S，D、E、F分别为BC、CA、AB上的点，且BDCEAF1???，DCEAFB试求一AD、BE、CF为边的三角形的面积S′.
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