由（2）解出
xv?2xv?12x?y2,yv??2x?2yv2x?y2.
19. 解: 设
F(x,y,u,v)?u?v?x?y?1,
2222G(x,y,u,v)?u?v?xy.
(1) F,G关于u,v的雅可比行列式是
?(F,G)?(u,v)2u12v?1???2(u?v),
当u??v时, 在满足方程组的任何一点(x,y,u,v)的一个邻域内, 由方程组可以唯一确定
u,v是x,y的可微函数;
(2) F,G关于x,u的雅可比行列式是
?(F,G)?(x,u)2xy2u1??2(x?uy),
当x?uy时, 在满足方程组的任何一点(x,y,u,v)的一个邻域内, 由方程组可以唯一确定
x,u是y,v的可微函数.
22220. 解: 设 F(x,y,z)?x2?y2?z2?50，G(x,y,z)?x?y?z. 它们在(3, 4, 5)处的偏
导数和雅可比行列式之值为：
?F?x?G?x?6,
?F?y?G?y?8,
?F?z?G?z?10,
?6, ?8, ??10,
和
?(F,G)?(y,z)??160，
?(F,G)?(F,G)?0. ?120，
?(x,y)?(z,x)所以曲线在(3, 4, 5)处的切线方程为：
x?3?160?y?4120?z?50，
即
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?3(x?3)?4(y?4)?0, ??z?5. 法平面方程为
?4(x?3)?3(y?4)?0(z?5)?0， 即
4x?3y?0.
21. 解: 令F(x,y,z)?ez?z?xy?3, 则
Fx(x,y,z)?y, Fy(x,y,z)?x, Fz(x,y,z)?e?1,
z故FxM0?1, FyM0?2, FzM0?0, 因此曲面在点M0(2,1,0)处的法向量为
?n?(1,2,0),
所求切平面方程为
1?(x?2)?2?(y?1)?0,
即
x?2y?4?0.
法线方程为
y?1?x?2?,? 2?1?z?0,?即
?2x?y?3?0, ?z?0,?22. 解: 这个问题实质上就是要求函数
f(x,y,z)?x?y?z（空间点(x,y,z)到原点(0,0,0)的距离函数的平方）
222在条件x?y?z?0及x?y?z?1?0下的最大、最小值问题. 应用拉格朗日乘数法，令
L(x,y,z,?,?)?x?y?z???x?y?z????x?y?z?1?.
2222222对L求一阶偏导数，并令它们都等于0，则有
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?Lx?2x?2x????0,?L?2y?2y????0,?y??Lz?2z?????0, ?L?x2?y2?z?0,???L??x?y?z?1?0.求得这方程组的解为
???3?533,???7?1133,
与 x?y??1?23,z?2?3. （1）
（1）就是拉格朗日函数L(x,y,z,?,?)的稳定点，且所求的条件极值点必在其中取得.由于所求问题存在最大值与最小值（因为函数在有界闭集(x,y,z)x2?y2?z,x?y?z?1上连续，从而必存在最大值与最小值），故由
??1?3?1?3f?,,2??22??3? ????所求得的两个值9?53，正是该椭圆到原点的最长距离9?53与最短距离9?53. 23. 叙述含参量x的正常积分定义. 答: 用积分形式所定义的这两个函数
I(x)??dcf(x,y)dy,x??a,b?. （1）
d(x)与 F(x)??c(x)f(x,y)dy,x??a,b?., （2）
通称为定义在?a,b?上含参量x的（正常）积分，或简称含参量积分.
（1）式的意义如下：设f(x,y)是定义在矩形区域R??a,b???c,d?上的二元函数。当x取?a,b?上某定值时，函数f(x,y)则是定义在?c,d?上以y为自变量的一元函数.倘若这时
f(x,y)在?c,d?可积，则其积分值是x在?a,b?上取值的函数，记它为I(x)，就有
I(x)??dcf(x,y)dy,x??a,b?..
（2）式的意义如下：一般地，设f(x,y)为定义在区域G??(x,y)c(x)?y?d(x),a?x?b?上的二元函数，其中c(x),d(x)为定义在?a,b?上的
连续函数，若对于?a,b?上每一固定的x值，f(x,y)作为y的函数在闭区间?c(x),d(x)?上
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可积，则其积分值是x在?a,b?上取值的函数，记作F(x)时，就有
F(x)??d(x)c(x)f(x,y)dy,x??a,b?.
24. 叙述含参量x的正常积分的连续性定理的内容.
答: 设二元函数f(x,y)在区域
G??(x,y)c(x)?y?d(x),a?x?b?
上连续，其中c(x),d(x)为?a,b?上的连续函数，则函数
F(x)??d(x)c(x)f(x,y)dy （6）
在?a,b?上连续.
25. 叙述含参量x的无穷限反常积分定义.
答: 设二元函数f(x,y)定义在无界区域R??(x,y)a?x?b,c?y????上，若对于
?a,b?上每一固定的x值，反常积分
???cf(x,y)dy (1)
都收敛, 则它的值是x在?a,b?上取值的函数, 当记这个函数为I(x)时, 则有
I(x)????cf(x,y)dy, x??a,b?,
称(1)式为定义在?a,b?上的含参量x的无穷限反常积分, 或简称含参量反常积分. 26. 叙述含参量x的无穷限反常积分的一致收敛性定义. 答: 若含参量反常积分???cf(x,y)dy 与函数I(x)????c总存在f(x,y)dy对任给的正数?，
某一实数N?c,使得当M?N时，对一切x??a,b?，都有 即
??cMcf(x,y)dy?I(x)??,
??Mf(x,y)dy??,
则称含参量反常积分???f(x,y)dy 在?a,b?上一致收敛于?(x)，或简单地说含参量积分
???cf(x,y)dy 在?a,b?上一致收敛.
27. 叙述含参量x的无穷限反常积分的一致收敛的柯西收敛准则.
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答: 含参量反常积分???cf(x,y)dy 在?a,b?上一致收敛的充要条件是：对任给正数?，总
存在某一实数M?c，使得当A1,A2?M时，对一切x??a,b?，都有
?答: 设
A2A1f(x,y)dy??.
28. 叙述含参量反常积分一致收敛的狄利克雷判别法.
N(i)对一切实数N>c，含参量正常积分?cf(x,y)dy对参量x在?a,b?上一致有界，即存
在正数M，对一切N>c及一切x??a,b?，都有
?Ncf(x,y)dy?M;
(ii)对每一个x??a,b?，函数g(x,y)关于y是单调递减且当y???时，对参量x,g(x,y)一致地收敛于0.
则含参量反常积分
?在?a,b?上一致收敛．
??cf(x,y)g(x,y)dy
29. 叙述含参量反常积分一致收敛的阿贝尔判别法. 答: 设
(i)???cf(x,y)dy在?a,b?上一致收敛；
函数g(x,y)为y的单调函数，且对参量x，g(x,y)在?a,b?上(ii)对每一个x??a,b?，一致有界，则含参量反常积分
?在?a,b?上一致收敛。
??cf(x,y)g(x,y)dy
30. 叙述含参量反常积分的可积性定理内容.
答: 设f(x,y)在?a,b???c,???上连续，若I(x)?则I(x)在?a,b?上可积，且
???cf(x,y)dy在?a,b?上一致收敛，
?badx???cf(x,y)dy????cdy?f(x,y)dx.
ab设f(x,y)在?a,?????c,???上连续.若
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