第九讲：无穷级数
一、 常数项级数 1、 概念与性质：
（1） 数列?un?中的各项用加号连接的形式：u1?u2???un???数项级数，第n项称为一般项（通项）。
数列Sn??un?1?n称为无穷项
?unn称为级数
?u?n的前n项之和（部分和），若limSn?S，则称级数
i?1n?1n?????un的和为S，级数
n发散。n?1??un收敛；若limn?1n??Sn不存在，则称级数
?un?1??若级数
?un收敛，rn?S?Sn称为级数
n?1?un的余项，limn?1n??rn?0。
例1：判定下列级数的敛散性： ?①
?ln??1?n?1?1?n??： 解：u?1?n?ln??1?n???ln?n?1??lnn， Sn?ln2?ln1?ln3?ln2???ln?1?n??lnn?ln?1?n????n???，?故
?ln??1?1??发散； n?1?n???②
n?n?1?： n?1!解：
u1n?n!?1?n?1?!，S111111n?1?2!?2!?3!???n!??n?1?!?1??n?1?!???故
n1?收敛； n?1?n?!??③调和级数：
1； n?1n解：由
1n?ln??1??1?n???ln?n?1??lnn， ?n???，
1
Sn?1?11????ln2?ln1?ln3?ln2???ln?n?1??lnn?ln?n?1???2n??n???，故级数?1发散。
n?1n??④几何级数：
?aqn?1??a?1?q,q?1,
n?1??发散,q?1?⑤p?级数：
?1n?p???收敛，p?1? n?1p?0?发散，p?1（2） 性质：
??ⅰ、设?、?为常数，若
??un、
n收敛，则
n?1?vn?1???un??vn?也收敛，且n?1?????un??vn???n?1?un????vn；
n?1n?1??推论：常数k?0，
?kun与
n同敛散；
n?1?un?1?比如：证明级数?2?2?1?n发散：因为?与n?1n?同敛散，又n?1n?1发散，故级数n?1n?1n???注意：?2?2?1??，??1?1?n?1?nn2????1??1n?1nn?1nn?1n?n?1n2； ⅱ、改变级数的有限项，不会改变级数的敛散性； ??
推论：
?un与
u
n
同敛散；
n?1n??N?1
ⅲ、收敛级数“加括号”后所得的级数仍收敛于原来的和；（“加括号”后所得的级数发散，
则原级数必发散） ?比如：已知
?1?π2?8，求k?1?2k?1?2?1n?1n2： ?解：?1??n?1n???12?1??k?1??2k?1??2k?2????12?1?12k?1?2k?1?4?2， k?1k?故?14?14?2?2n?1n2?3??2k?1??386； k?12??
??2n?1n发散；
ⅳ、若级数
?un?1n?n收敛，则limun?0（若limun?0，则
n??n???un?1?n发散）
比如：由limn?1?0，则
n???n?1n?1nn发散。
ⅴ、柯西收敛准则：级数
?u?收敛????0，?N?0，当n?N时，对任何p?0，
n?1均有un?1?un?2???un?p??。 2、 正项级数的审敛法
?若un?0，n?1,2,?，则称级数
?un为正项级数。
n?1由un?Sn?Sn?1?0得?Sn?单调增加，可知正项级数的收敛准则：正项级数收敛分和有界。
??（1） 比较审敛法：若
?un、
n为正项级数，且un?Cvn，其中Cn?1?vn?1????当
?vn收敛时，
un也收敛；当
n发散时，
n也发散。
n?1?n?1?un?1?vn?1??比较审敛法的极限形式：若
?uunn、?vn为正项级数，且limn?1n?1n??v?l，则n??当0?l???时，
?un与
n同敛散；
n?1?vn?1????当l?0时，若
?vn收敛，
n也收敛；若
n发散，
vn也发散；n?1?un?1?un?1?n?1?????当l???时，若
?un收敛，
n也收敛；若
vn发散，
n也发散。n?1?vn?1n?1?un?1?（2）比值审敛法（达朗贝尔判别法）：设?uun?1n为正项级数，则当?n?1uqn?敛；当un?1u?1时，
un发散。
n?n?1?比值审敛法的极限形式：若?uun?1n为正项级数，且lim?l，则当0?ln?1n??u?部
?时，?un收
n?1?1时，?un收n?1为正常数，则
?1?敛；当l?1时，
?un?1?n发散；当l?1时，无法确定。
（3）根值审敛法（柯西判别法）：设
?u?n为正项级数，则当nun?q?1时，
?u?n收敛；
n?1?当nun?1时，
?un发散。
n?1?根值审敛法的极限形式：若
?un为正项级数，且limnn??un?l，则当0n?1?敛；当l?1时，
?un发散；当l?1时，无法确定。
n?1?（4）积分审敛法：若f?x?（x?0）为非负的不增函数，则
?f?n?与n?1?（5）拉阿伯审敛法：若?u?un?n为正项级数，且limn??1?n?1????un?1??l，则当n??敛；当0?l?1时，
?un发散；当l?1时，无法确定。
n?13、交错级数及审敛法：
??（1）设un?1n?0?n?1,2,??，级数
???1?nun或un称为交错（项）级数。n?1???1?n?1?n?（2）莱布尼兹审敛法：若交错级数
???1?un或
1?n?1un满足：unn?1???n?1limn??un?0，则该级数收敛。
4、绝对收敛与条件收敛： ??若
??un收敛，则称
n也收敛；若
n发散，但
n?1??un绝对收敛，此时
n?1?un?1?un?1?则称
?un条件收敛。
n?1判断下列级数的收敛性 ??例1:
1n?2lnnlnn; n?1l?1时，
??un收
n?1??1f?x?dx同敛散。
??l?1时，un收n?1
un?1?n?1,2,??，
??un收敛，
n?1???解:注意到lnnlnn?elnnlnlnn?nlnlnn,当n充分大时,lnlnn?2,即lnnlnn?n2,故
11??lnnlnn?11n2,?n?2n2收敛,因此:?n?2lnnlnn收敛. ?例2:
?n!; n?1nn?n?1?!解:limun?1?n?1?n?11n??u?n?1nn!?limn???e?1,因此原级数收敛. nn??1?1?n???例3:
??nns?0,??0)
n?1s(n解:limnun?limn?n??n??ns?limn????n当0???1时,级数收敛;当??1时,级数发散n?s??,当??1时,
??1当0?s?1时,该级数收敛,当s?1时,该级数发散. n?1ns?1例4:?1?cos1??,n?1n?en?1,1n?1?arcsin
n?1n1?cos11解:因为limnn??1?1?2?1,limen?1arcsin1n?1?1n??1?1,limn??1?1,又?n?1n发散,?nn2收敛2???n??1?nn??1?cos1收敛, n?1n??1?en?1,arcsin1发散. n?1?n?1n?n例5:?n!??x????x?0?;
n?1n?u?n?1n?1?!??x?解: limn?1xn??u?lim?n?1??nn??n?limxn??n!??x??n?e,当x?n???1?e?1即0?x?e?1?n??敛;当x?e时,级数发散;当x?e时,
un?1u?en?1,故级数发散. n???1?1?n??;
,因此 ,级数收
时