姜堰市蒋垛中学2012～2013学年度第二学期期初调研测试
高三数学试题
(考试时间：120分钟 总分160分)
命题人：刘小明 审题人：宋元海
注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1.已知集合M?{1,x2},N?{1,x},且集合M?N，则实数x的值为 ▲ 2.计算i2013? ▲ （i为虚数单位）
????00003.已知向量a?(cos36,sin36),b?(cos24,sin(?24))，则a?b? ▲
4.圆x2?y2?6x?8y?0的半径为 ▲ y2?1的离心率为 ▲ 5.双曲线x?226.已知数列{an}满足a1 = 1，an + 1 = 2an，则该数列前8项之和S8 = ▲ 7、点M(1,m)在函数f(x)?x的图像上，则该函数在点M处的切线方程为 ▲ 8.将20个数平均分为两组，第一组的平均数为50，第二组的平均数为40，则整个数组的 平均数是 ▲
9.已知函数f(x)?ax?bx?x?1,(x,a,b?R)，若对任意实数x，f(x)?0恒成立，则实数b的取值范围是 ▲
10. 已知直线l1:x?ay?6?0和l2:(a?2)x?3y?2a?0,则l1//l2的充要条件是a= ▲ 11. 已知实数a,b,c满足a?b?c?9，ab?bc?ca?24，则b的取值范围是 ▲ 12.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f(x)?323x，若对任意的x?[a,a?2]
不等式f(x?a)?3f(x)恒成立，则a的最大值为 ▲ 13.已知数列{an}的通项公式为an?n?范围为 ▲
·1·
k*，若对任意的n?N，都有an?a3，则实数k 的取值n
14. 已知?、?、?∈R，则|sin??sin?|?|sin??sin?|?|sin??sin?|的最大值为
▲
二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）设?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c （1）求证：acosB?bcosA?c； （2）若acosB?bcosA?
16．（本题满分14分）如图，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C?平面ABCD,且
3tanAc，试求的值 5tanBAB?BC?CA?3,AD?CD?1.
（1） 求证：BD?AA1;
（2） 若E为棱BC上的一点，且AE//平面
A1 D1
C1 B1 DCC1D1，求线段BE的长度
·2·
D A 第16题
C
E B
17. （本题满分14分）已知函数f(x)?(1)求函数f(x)的极大值和极小值；
（2）已知x?R，求函数f(sinx)的最大值和最小值。
（3）若函数g(x)?f?x??a的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．
18. （本题满分16分）如图，海岸线MAN，?A?2312x?x?x?1，x?R 322?,现用长为6的拦网围成一养殖场，其中3B?MA,C?NA．
(1)若BC = 6，,求养殖场面积最大值；
(2)若AB = 2，AC = 4，在折线MBCN内选点D， 使
BD + DC = 6，求四边形养殖场DBAC的最大面积（保留根号）．
·3·
19．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1,F2分别是椭圆
???????????x2y2E:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且AF2?5BF2?0. ab（1）求椭圆E的离心率；
（2）已知点D?1,0?为线段OF2的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数?，使得
k1??k2?0恒成立？若存在，求出?的值；若不存在，说
理由.
明
·4·
?an?1?r,n?2k,k?N?,?20. （本题满分16分）定义数列?an?：a1?1，当n?2 时，an??。
???2an?1,n?2k?1,k?N.（1）当r?0时， Sn?a1?a2?a3???an。
①求：Sn； ②求证：数列?S2n?中任意三项均不能够成等差数列。
2k（2）若r≥0，求证：不等式??4（n∈N*）恒成立。
aak?12k?12kn
21.（本小题满分10分，几何证明选讲）如图，过圆O外一点M作圆的切线，切点为A,过A作AP?OM于P.
(1) 求证：OM?OP?OA;
(2) N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON,且
O于B点.过B点的切线交直线ON于K,求证：
2BAK交圆
NOPM?OKM?90.
22.（本小题满分10分，矩阵与变换）已知矩阵M??
??1b?有特征值?1?4及对应的一个特征向量??c2??2?e1???.
?3?（1）求矩阵M;
（2）求曲线5x?8xy?4y?1在M的作用下的新曲线方程.
23.（本小题满分10分，坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与
22?x轴的正半轴重合.若直线l的极坐标方程为?sin(??)?32.
4（1）把直线l的极坐标方程化为直角坐标系方程；
x2y2??1上一点，求P到直线l的距离的最大值. （2）已知P为椭圆C:169·5·