152.排列恒等式
mm?1(1）An; ?(n?m?1)AnnmAn?1; n?mmm?1（3）An?nAn?1;
（2）An?mnn?1n（4）nAn?An?A?1n; mmm?1（5）An. ?1?An?mAn(6) 1!?2?2!?3?3!???n?n!?(n?1)!?1. 153.组合数公式
Cmn=
Anmn(n?1)?(n?m?1)n！*
==(n∈N，m?N，且m?n). m1?2???mm！?(n?m)！Am154.组合数的两个性质
mn?m(1)Cn=Cn ; mm?1m(2) Cn+Cn=Cn?1. 0注:规定Cn?1.
155.组合恒等式
n?m?1m?1Cn; mnmmCn（2）Cn??1; n?mnm?1m（3）Cn?Cn?1;
m（1）Cn?m （4）
?Cr?0rrnrn=2;
nrr?1（5）C?Crr?1?Crr?2???Cn?Cn?1. 012rn(6)Cn?Cn?Cn???Cn???Cn?2n. 135024(7)Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn??2n?1. 123n (8)Cn?2Cn?3Cn???nCn?n2n?1. r0r?110rrr(9)CmCn?CmCn???CmCn?Cm?n. 021222n2n(10)(Cn)?(Cn)?(Cn)???(Cn)?C2n.
156.排列数与组合数的关系
mm . An?m！?Cn157．单条件排列
以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”
m?1①某（特）元必在某位有An?1种；②某（特）元不在某位有An?An?1（补集思想）
mm?11m?1m1m?1?An?1An?1（着眼位置）?An?1?Am?1An?1（着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
km?k①定位紧贴：k(k?m?n)个元在固定位的排列有AkAn?k种.
n?k?1k②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有An?k?1Ak种.注：此类问题
常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、h个（k?h?1），把它们合在一起来作全排列，k个的一
hk组互不能挨近的所有排列数有AhAh?1种.
（3）两组元素各相同的插空
m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
nAmn?1当n?m?1时，无解；当n?m?1时，有n?Cm?1种排法.
Ann（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cm?n.
158．分配问题
（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有N?Cmn?Cmn?n?Cmn?2n???C2n?Cn?nnnnn(mn)!. m(n!)（2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有
nnnnnCmn?Cmn(mn)!?n?Cmn?2n...?C2n?Cn. N??mm!m!(n!)（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则
nmn1n2其分配方法数共有N?Cp?CpCn?m!??n1...mp!m!.
n1!n2!...nm!（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、
p!m!.
a!b!c!...n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1，n2，?，nm件无记号的m堆，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数
p!有N?.
n1!n2!...nm!（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1，n2，?，nm件无记号的m堆，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，
p!则其分配方法数有N?.
n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（p?n1+n2+?+nm）个物体分给甲、乙、丙，??
b、c、?个相等，则其分配方法数有N? ?等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，?时，则无论n1，
nmn1n2Cp?CpCn?m!?n1...mn2，?，nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
nmn1n2N?Cp?CpCn??n1...mp!.
n1!n2!...nm!159．“错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为
f(n)?n![1111?????(?1)n]. 2!3!4!n!推广: n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为
1234f(n,m)?n!?Cm(n?1)!?Cm(n?2)!?Cm(n?3)!?Cm(n?4)!???(?1)C(n?p)!???(?1)C(n?m)!ppmmmm
1234pmCmCmCmCmpCmmCm?n![1?1?2?2?4???(?1)p???(?1)m].
AnAnAnAnAnAn160．不定方程x1+x2+?+xn?m的解的个数
(1)方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N?）的正整数解有Cn?1个.
m?1(2) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N?）的非负整数解有 Cn?m?1个.
(3) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N?）满足条件xi?k(k?N,2?i?n?1)的非负整数解有Cm?1?(n?2)(k?1)个.
(4) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N?）满足条件xi?k(k?N,2?i?n?1)的正整数解有Cn?1?C1Cn?1?C2Cn?1???(?1)n?2Cn?2Cn?1个.
n?m?1n?2m?n?k?2n?2m?n?2k?3n?2m?1?(n?2)k161.二项式定理
0n1n?12n?22rn?rrnn(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb ;
??n?1n?1二项展开式的通项公式
rn?rr1，2?，n). Tr?1?Cnab(r?0，162.等可能性事件的概率
P(A)?m. n163.互斥事件A，B分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
164.n个互斥事件分别发生的概率的和
P(A1＋A2＋?＋An)=P(A1)＋P(A2)＋?＋P(An)． 165.独立事件A，B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).
166.n个独立事件同时发生的概率
P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An)． 167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
kkPn(k)?CnP(1?P)n?k.
168.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）P,2,?); i?0(i?1（2）P1?P2???1. 169.数学期望
E??x1P1?x2P2???xnPn??
170.数学期望的性质
（1）E(a??b)?aE(?)?b. （2）若?～B(n,p),则E??np.
(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?qk?1p，则E??171.方差
1. pD???x1?E???p1??x2?E???p2????xn?E???pn??
172.标准差
222??=D?.
173.方差的性质
(1)D?a??b??a2D?；
(2）若?～B(n,p)，则D??np(1?p).
(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?qk?1p，则D??q. p2174.方差与期望的关系
D??E?2??E??.
175.正态分布密度函数
2f?x??1e2?6??x???2262,x????,???，式中的实数μ，?（?>0）是参数，分别表
示个体的平均数与标准差.
176.标准正态分布密度函数
x?1f?x??e2,x????,???.
2?62177.对于N(?,?)，取值小于x的概率
?x???F?x?????.
???P?x1?x0?x2??P?x?x2??P?x?x1?
2?F?x2??F?x1?
?x????x1??????2?????.
??????178.回归直线方程
nn??xi?x??yi?y??xiyi?nxy???b?i?1n?i?1n?2y?a?bx，其中?22.
x?xx?nx????ii?i?1i?1??a?y?bx179.相关系数
r???x?x??y?y?iii?122(x?x)(y?y)?i?ii?1i?1nnn ???x?x??y?y?iii?1n(?xi2?nx2)(?yi2?ny2)i?1i?1nn. |r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.
180.特殊数列的极限
?0?n（1）limq??1n???不存在?|q|?1q?1|q|?1或q??1.
?0(k?t)?aknk?ak?1nk?1???a0?at（2）lim??(k?t).
n??bnt?bnt?1???bbtt?10?k?不存在 (k?t)?（3）S?lima11?qn1?qx?x0?n????a11?q（S无穷等比数列
?aq? (|q|?1)的和）.
n?11181. 函数的极限定理
x?x0limf(x)?a?lim?f(x)?lim?f(x)?a.
x?x0182.函数的夹逼性定理
如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足： （1）g(x)?f(x)?h(x);
（2）limg(x)?a,limh(x)?a（常数）,
x?x0x?x0则limf(x)?a.
x?x0本定理对于单侧极限和x??的情况仍然成立. 183.几个常用极限
1?0，liman?0（|a|?1）；
n??n??n11（2）limx?x0，lim?.
x?x0x?x0xx0（1）lim184.两个重要的极限 （1）limsinx?1；
x?0xx?1?（2）lim?1???e(e=2.718281845?).
x???x?185.函数极限的四则运算法则
若limf(x)?a，limg(x)?b，则
x?x0x?x0(1)lim??f?x??g?x????a?b；
x?x0x?x0(2)lim??f?x??g?x????a?b; (3)limx?x0f?x?a??b?0?. g?x?bn??186.数列极限的四则运算法则 若liman?a,limbn?b，则
n??(1)lim?an?bn??a?b；
n??n??(2)lim?an?bn??a?b；