2010-2011河南师范大学预科班《高等数学》A卷参考答案
一 选择题（每小题3分，共24分）
1－8: C B B C B C D A 二 填空题（每小题3分，共24分）
①a ② 必要 ③y=2x+1 ④ 减 sinx?⑤ dy?xsinx??cosx?lnx?dx ??x?⑥
33?cos x sin xdx??sin x d sin x?1sin 4x?c 41⑦
2?sec2 x1 ??d(tanx?1)?2tanx?1?c
tan x?1tan x?11?x2dx?⑧ ?10?4
三 计算题（每小题5分，共40分）
?k?1．求lim?1??．
x???x?2x?k?解 lim?1??e2k ?x???x?2．求limx?02xx?sinx． x3x?sinx1?cosxsinx1?lim?lim? 32x?0x?0x3x6x6?11??, ???1????1?2x????2x?x?2x?x?x?1解 limx?03．解y/?4．求函数f?x??x3?6x2?15x?9的极值．
解 f??x??3x2?12x?15?3?x?5??x?1?,当f??x??0,即?5?x?1时,函数为单调增的, 当,即f??x??0,即x??5或x?1时,函数为单调减的,因此当x??5时,函数的极大值为f??5??91,当x?1时,函数的极小值为f?1???17.
5．解：
x?1x?1 ?2x?x?12?x?4??x?3? 高等数学F卷 音体美艺术类 2009.1 第 1 页 共 4 页
?AB
?x?4x?3A?x?3??B?x?4? ?x?4??x?3? ?A?x?3??B?x?4??x?1
令 x?4
令 x??35A?,
72B?
7∴
x?11?52?52?lnx?4?lnx?3?C dx??dx???x2?3x?5?777?x?4x?3?. 6．．7/12
. 7．解：原式
11111??0x2df?(2x)?x2f?(2x)??02xf?(2x)dx 22201
1111???0xdf(2x)??xf(2x)??0f(2x)dx
222011
11211????0f(t)d t???1?
2422.
8．解：K?y???2x?4
在(0,?3)点处，K1在(3,0)点处，K2?4，切线方程
y?4x?3 y??2x?6
??2，切线方程
3得交点??,?2?3? ??y?4x?3 ??y??2x?6S???4x?3?(?x3202?4x?3)dx
? 高等数学F卷 音体美艺术类 2009.1 第 2 页 共 4 页
??332??2x?6?(?x32?4x?3)dx
????320xdx??3(x2?6x?9)dx
22999?? 884
四 解答题（12分）
1证： 设f(x)?x?ln(1?x)
f/(x)?1?1x ?1?x1?x
f(x)单增，当x?0 f(x)?f(0)?0
∴ x?ln(1?x)
x 1?x设 f(x)?ln(1?x)?f/(x)?112?x???0 1?x(1?x)2(1?x)2f(x)单增，当x?0x∴ ln(1?x)?
1?x
xf(x)?f(0)?0
2. 证：设
且：
F(x)??πsintdt??π1022x1?ππ?连续
在,?dt?102?sin2t?1?π?10F?????πdt?0210sint??2π
?π?2sin2tdt?0F?????π ?2?10由介值定理 ?ζ??π?ππ?，使 F(ζ)=0
,?102?? 高等数学F卷 音体美艺术类 2009.1 第 3 页 共 4 页
2x?1sin2x?0 ， 单增
第 4 页 共 4 页 高等数学F卷 音体美艺术类 2009.1 即F(x)=0有根又∵F?(x)?sinF?x? ∴根唯一