姓级专业学院领导 审批并签名 B 卷 学广州大学2007-2008学年第二学期考试卷
答 案 及 评 分 标 准
课 程：高等数学（72学时） 考 试 形 式： 闭卷 考试 名班院 题 次 一 二 三 四 五 六 七 总 分 分 数 15 15 10 12 18 18 12 100 得 分 评卷人
一．填空题（每小题3分，共15分）
1．limarctanx?cosx?ln(x?1)x?0x2?1?sin(x2?x)?( 1 )。 2．曲线y?xex在点（0，0）处的切线方程是( y = x )。 3．函数y?arctanx的导数y?=(
12x(1?x) )。
4．函数y?2x的n阶导数y(n)? ( (ln2)n2x )。 5．检验n件产品，设Ak表示第k件产品为合格品，则A1A2?An表示： ( 至少有一件不合格品 ) 。
二．单项选择题 (每小题3分, 共15分)
1. 当x?0时,与x为等价无穷小的是( C ).
(A) x2; (B)
3x2; (C) x2?x; (D) x2?x.
2.极限值为0的式子为( D )。.
(A) limxx?0sinx ; (B) limsinxx?1x ;
(C) limx??xsin1x ; (D) lim1x?0xsinx 。
3． f(x)在x0可导是f(x)在x0连续的( A )条件。 (A)充分； (B)必要； (C)充分且必要 ； (D)无关。
第 1 页 共 6页
4. f(x)有连续的导数，下列式子不正确的是( B )。
df(x)dx?f(x)； (B) ?f?(x)dx?f(x)； ?dxdxd1(C) ； (D) f(t)dt?f(x)f(t)dt?0。 ??00dxdx(A)
5. 某学生凭猜测解答5道是非判断题，则该生答对题数ξ的概率分布 p(ξ=k)=( C ) k=0，1，…，5)
（A）kk?1Ck5k！25， （B）25， （C）25； （D）25。
三．求极限（每小题5分，共10分）
1．计算极限 limxxx??(x?1)
解：原式=lim1x?? ( 3分)
(1?1)xx =1e ( 5分)
2．计算极限 limlncosxx?0x2
?sinx解：原式=limcosxx?02x (3 分)
=?12limsinx1x?0xcosx (4 分)
=?12 (5 分)
第 2 页 共 6页
四．解答下列各题（每小题6分，共12分）
11．求函数y?xarctanx?ln(1?x2)的二阶导数。
2xx解：y??arctanx? ?221?x1?x =arctanx (3 分)
y???
2．求函数f(x)?x3?3x的单调区间与极值点。 解：函数的定义域为：(-∞，+∞)
由y??3(x?1)
得驻点 1，-1 (2 分) 当x?(??，?1)?(1，??)时，y??0
所以(-∞，-1) 及 (1，+∞) 为单调增加区间
当x?(-1，1) 时y??0 所以 (-1，1) 为单调减少区间 ( 4分) 极大值点为：-1，极小值点为1 ( 6分)
第 3 页 共 6页
21 (6 分) 21?x
五．计算下列积分（每小题6分，共18分）
x1．?xedx。
解：原式=xde ( 3分) =xex?exdx ( 5分)
?x? =ex(x?1)?C (6 分)
?2．
?220cosxsinxdx。
? 解：原式=??220cosxdcosx ? =?1(cos33x2) 0 =13 3．
?3x0x?1dx。
解：令x?1?t 则原式=2?21(t2?1)dt =2(1(t3231)?1) =83
第 4 页 共 6页
(3 分)
(5 分)
( 6分)
(3 分)
( 5分)
(6 分)
六．计算概率问题（每小题6分，共18分）
1.某城市通过三个独立生产的水厂联合供水,而三个水厂可保证供水的概率分别为0.9，0.9，与0.8，求出现断水的概率。 解：设：Ak：第k个水厂断供水( k=1,2 )
B：城市断水
则 P(B)=P(A1A2A3) ( 2分) =P(A1)P(A2)P(A3) (4 分) =(1-0.9)(1-0.9)(1-0.8) ( 5分) =0.002 ( 6分)
2.两台车床加工同一种零件，第一台废品率为3%而 第二台为2% 。第一台加工的零件数比第二台多一倍，加工后的零件混合放在一起，现取出一件零件为废品，求该零件是由第一台车床加工的概率。 解：设：B：取出一零件为废品
Ak：取出一零件为第k台车床加工的(k=1，2) 则由贝叶斯公式： P(A1B)?P(A1)P(BA1)P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2) (3分)
2?0.033 = ( 5分) 21?0.03??0.0233 =0.75 ( 6分)
?100?3.某电子元件的使用寿命 (小时)的概率密度为：f(x)??x2??0求使用寿命不超过150小时的概率。 解：P(??150）? =
x?100x?100，
?150??f(x)dx ( 4分)
100?100x2dx (5 分)
2 =1?
31 = ( 6分)
3150
第 5 页 共 6页
七．应用题（每小题6分，共12分）
1．用长度为L的塑料布围住三面而成一个矩形的场地，，问当矩形的长与宽之比为多少时，其面积最大。 解：设长宽分别为x，y
则面积 A?xy
=x(L?2x) (0?x? 由 A??L?4x
L) ( 2分) 2 得唯一驻点：x0?L ( 4分) 4
而 A???4?0 所以x0为所求最小值点
L y0?L?2x0? ( 5分)
2 即 x0：y0?1：2
答：当比例为1：2时面积最大。 ( 6分)
?2．求由y?cosx从0至的一段曲线，与x?0,y?0所围成的曲边梯形绕
2x轴旋转而成的旋转体的体积。 解：由旋转体体积公式
? V?? =
?20cos2xdx ( 3分)
(1?cos2x)dx ( 5分)
??202? =
??22(?0)
=
?24 ( 6分)
第 6 页 共 6页