对于一维线性谐振子，x在动量表象中的微分形式为：x?i?d ， dp把上式代入哈密顿在坐标表象的表示，得
211222d H??m???p 。 2dp22m?a1???2???21.证明：设在L和Lz的共同表象中，Lx的本征函数为?m??a2?，m?为所对?a??3????m?? ， 应的本征值，本征方程为： Lxmm?2?ma?a2?0?12?010??a1??a1???????2?2?2??101??a2??m?a2? ， ?即 a1?ma2?a3?0 ， 2?22????a???010??a3??3?2?a2?ma1?0?2?齐次方程有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即
?m22?m2202?0， 2?m
220?得本征值为L?0,??。 展开后整理得m(m2?1)?0，即m?0,?1，Lxx?a1???2?????22.证明：设在L和Ly的共同表象中，Ly的本征函数为m?a2?，m?为所对?a??3????m?? ， 应的本征值，本征方程为：Lymm?2?ma?ia2?0?12?0?i0??a1??a1???????2?2?2?i0?ia?m即ia1?ma2?ia3?0 ， ???2??a2? ，?2?22???a??0??0i??a3??3?2?ia2?ma3?0?2?齐次方程有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即
?m2i2?m2i202i?0 ， 2?m
2i20?得本征值为Ly?0,??。 由此得m?0,?1，Ly?0?i??01???23.证明：（1）?x???i0?? ?10?? ，?y??????1??01??0?i??2?????????i?? ???4??10??i0???22?01??0?i??0?i??01??0?i??1??01????????? ?????? ?i??i?????????????4??10??10??i0??i0??10??i0???? ?0 。
1??01??0?i????2???????i?? ???4??10??i0???22?01??0?i??0?i??01??0?i??1??01??????????? ???? ?i??i????????????4??10??10??i0??i0??10??i0????? ?0 。
111??x,??y? ??,????????????i?? （2）????????i?, ??i?xyxy??22?2?1?z???z 。 ??i?2i?2?0?i??10??01??z的表象中，???x???????24.证明：在? ， ，????yz?i0??0?1??。 ?10????????01??0?i??10???? ?x?y?z???10????i0????0?1??
???????01??0i??i0??10? ? ??10????i0?????0i???i??01?? ，
?????????x??y??z?i 。 即 ?25. 证明：??Sx??Sx2222?Sx?2
?2 而 Sx??1Sx?1??10? Sx2?0??1?22?2?0?2??1Sx?1??10???14?2221??1??0， ??????0??0?1??01??1??2???10????0???4。 0?????? 所以 ??Sx?22 又 ??Sy??Sy?Sy?2? 。 42
Sy Sy2??0?i??1???0， ?S??1y1??10?????????2?i0??0?22?2?0?i??0?i??1??2?2??1Sy?1??10????????。 ??????4?i0??i0??0?422 所以 ??Sy?2?2?222? 。 最后 ??Sx????Sy?? 。 416（六）计算题
1. 解：在v??c的情况下， p?2?E ，
hh 故 ??? 。
p2?EE?3?1.38?10?162尔格， ??4?1.67?10?24?6.68?10?24克。 ??6.6?10?27?12.6埃。
2?6.68?10?24?3?1.38?10?1622. 解：玻尔－索末菲的量子化条件表示为：
?pdq?nh ， n?1,2,3???
逆式中p，q为广义动量和广义坐标。 一维谐振子的能量 E?p21??2??2q22，整理为如下形式：
?p2??q2?1， 2?E2 ??2E?2?????2??这是椭圆方程，长a半轴和短半轴b分别为 a?2??，b?2E??2于是
椭圆面积＝?ab?2?Enh。 逆?pdq???由最后一个等号，立即得到：
E?n?? ， n?1,2,??? 其中??h2? 。 3. 解：反应可以表示为： 2??e?e?。
正负电子的能量 E2?m20c4?c2p2， 这能量来自光量子E?h??hc?。
所以光子的波长为：
??hcE?hcm242c2 ，当动量为零时，波长最大，则 0c?ph6.626?10?34??0m?1?10?31?2.998?108?0.024A。 0c9.4. 解：在球坐标中，梯度坐标为
???r??0?r???1??1?0r????0rsin???。
。
?只是r的函数，与?，?无关，所以
??????1?eikr1?e?ikr* ， ???r???r0?ik?? ， ???r??r0??r0?ik???rrrrr?????i????????r???*?r???*?r????r??，则 几率流密度 J?2????i??1???kr0pr0 。 J????2ik2?r0?222????r?rr所得结果说明?表示向外传播的球面波。 5. 解：在球坐标中，梯度坐标为
????1??1? ??r0。 ??0??0?rr??rsin??? ?只是r的函数，与?，?无关，所以
????1?e?ikr1?eikr* ， ???r??r0?i2k??， ???r???r0?i2k??r?rr?r???i????????r???*?r???*?r????r??， 则 几率流密度 J?2????i??1??2?kr02pr0 。 J????i4k2?r0??222???r?rr?所得结果说明?表示向内(即向原点)传播的球面波。
6. 解：粒子被限制在0?a区间运动，除x?a和x?0两点外，粒子在0?a内却
是自由的，故状态可以看作两个动量为p和?p的平面波的叠加，即 ??Aeikx?Be?ik x，
由??0??0得 A?B?0， 即 A??B。 所以 ??B?eikx?e?ikx??i2Bsinkx?Csinkx ，
p??ka?0 ?k?? ， 由 ??a??0 得 sin???即要求 ka?n?， n?1,2,3???
n?所以 ?n?Csinx ， n?1,2,3???
a2n2?2?2CC? En? ，为归一化常数， ；在阱外波函数为零。 2a2?a7. 解：一维谐振子第一激发态的波函数为
?1?x???2?12?2?xe*11??2x22??*1 ，其中 ??1?x0??? 。
几率密度 W???x??1?x??2?3?x2e??22x 。
22dW?x?2?3?(2x?2?2x3)e??x?0 。 dx?极值点有 x?0，??和?x0五个。
d2W4?3??2x22244?使 e(1?5?x?2?x)?0 的只有 2dx?? 两个值。所以， x??x0????x???? 和 x?????处第一激发态粒子出现的几率最大。
?2d21228．解：在x?0的区域，方程为： ????x???x??x??E?(x) 22?dx2解是 ?n?x??AnHn???e其中 An?1??22， ?2????x2 ，
?1n???2n! ，
Hn是关于?的n次多项式---厄米多项式。 必须注意的是，在x?0 的区域U??， 即 ??x??0 x?0。
这是题设条件的必然结果，那么要求在x?0处波函数连续，
即??0??0，而这一条件被n??2k?1?，k?0,1,2……（即n取奇数）， 厄米多项式H2k?1?0??0所满足。 所以，符合题意的解应是： 波函数 ?k?x??A2k?1H2k?1e1??22 ，
3??能级 Ek??2k???? ， k?0,1,2…… 。
2?????9. 解： 由波函数的统计解释知 w?r,t?????r,t???r,t? ，
?w?????????? 。 几率密度随时间的变化率为
?t?t?t 由薛定谔方程和它的共轭复数方程可得：
i?21????????U?r????t2?i?? ?? ，
??????i??2???1U?r????2?i???t?wi??2???????2?? 这样有
?t2??i?i?????????????????????? ， J 。 ?2?2???w???J?0 。这就是几率连续性方程。 则可得：?t10. 解：在阱内，体系所满足的定态薛定谔方程是
?2d2???E? ， |x|?a ， ① 22?dx 在阱外，定态薛定谔方程是
??????