1.3.2 组合数的性质同步练习
一、选择题
1．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )
A．30种 B．35种 C．42种 D．48种
2．甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )
A．150种 B．180种 C．300种 D．345种 3．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
4．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )
A．70种 B．80种 C．100种 D．140种
5．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )
A．10 B．11 C．12 D．15
6.如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，不同的取法种数为( )
A．40 B．48 C．56 D．62
二、填空题
7．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．
8．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．
9．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共有________种．
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三、解答题
10．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
11．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种不同的分法？
(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；
(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本； (3)甲、乙、丙各得3本．
12．如图，
在以AB为直径的半圆周上，有异于A、B的六个点C1、C2、C3、C4、C5、C6，直径AB上有异于A、B的四个点D1、D2、D3、D4.
(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含C1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A、B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
1.3.2 组合数的性质同步练习答案
一、选择题
1.解析：选A.法一：可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选
1221
1门，共有C3C4＋C3C4＝18＋12＝30种选法．
333
法二：总共有C7＝35种选法，减去只选A类的C3＝1种，再减去只选B类的C4＝4种，故有30种选法．
2.解析：选D.依题意，就所选出的1名女同学的来源分类：第一类，所选出的1名女同
112
学来自于甲组的相应选法有C3·C5·C6＝225种；第二类，所选出的1名女同学来自于乙组的
112
相应选法有C2·C6·C5＝120种．因此满足题意的选法共有225＋120＝345种，选D.
- 2 -
3.解析：选B.先将1,2捆绑后放入信封中，有C3种方法，再将剩余的4张卡片放入另外
22122
两个信封中，有C4C2种方法，所以共有C3C4C2＝18种方法．
33
4.解析：选A.当选择的3名医生都是男医生或都是女医生时，共有C5＋C4＝14种组法，
3
从9人中选择3人一共有C9＝84种组法，所以要求男，女医生都有的情况共有84－14＝70种
12
组队方法．本题也可以应用直接法进行求解：当小分队中有一名女医生时有C4C5＝40种组法；
21
当小分队中有2名女医生时有C4C5＝30种组法，故共有70种组队方法．
5.解析：选B.与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类： 第一类：与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选2个位置相同，
2
其他2个不同，有C4＝6个；
第二类：与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选1个位置相同，
1
其他3个不同，有C4＝4个；
第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同，即4个对应位置上的数字都不同，0
有C4＝1个．
由加法原理知，与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6＋4＋1＝11.
6.解析：选C.满足要求的点的取法可分为3类：
3
第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有4C5种取法；
3
第2类，在两个对角面上除点P外任取3点，有2C4种取法；
第3类，过点P的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，1
有4C2种取法．
331
所以，满足题意的不同取法共有4C5＋2C4＋4C2＝56种． 二、填空题
2
7.解析：从1,2,3,4中任取两个数的组合个数为C4＝6，满足一个数是另一个数两倍的组
21
合为{1,2}，{2,4}，故P＝＝.
63
1答案： 3
41111
8.解析：先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有C5C2C2C2C2＝80(种)．
答案：80
4132
9.解析：分两类，有4件次品的抽法为C4C46(种)；有三件次品的抽法有C4C46(种)，所以4132
共有C4C46＋C4C46＝4186种不同的抽法．
答案：4186 三、解答题
10.解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2
10×92
个元素的组合数，即C10＝＝45(种)．
2×1
22
(2)从6名男教师中选2名的选法有C6种，从4名女教师中选2名的选法有C4种，根据分
6×54×322
步乘法计数原理，共有选法C6·C4＝·＝90(种)．
2×12×1
11.解：(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本，这件事分三步完成．
4
第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C9种方法；
3
第二步：从余下的5本书中，任取3本分给乙，有C5种方法；
2
第三步：把剩下的两本书给丙，有C2种方法． 根据分步乘法计数原理知，共有不同的分法 432
C9C5C2＝1260(种)．
所以甲得4本，乙得3本，丙得2本的分法共有1260种．
(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本，这件事分两步完成．
432
第一步：按4本、3本、2本分成三组，有C9C5C2种方法；
1
- 3 -
第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A3
3种方法． 根据分步乘法计数原理知，共有不同的分法 C4C323
95C2A3＝7560(种)．
所以一人得4本，一人得3本，一人得2本的分法共有7560(种)． (3)用与(1)相同的方法求解，得 C3C33
96C3＝1680(种)．
所以甲、乙、丙各得3本的分法共有1680种． 12.解：(1)可分三种情况处理：
①C1、C2、…、C6这六个点任取三点可构成一个三角形；
②C1、C2、…、C6中任取一点，D1、D2、D3、D4中任取两点可构成一个三角形； ③C1、C2、…、C6中任取两点，D1、D2、D3、D4中任取一点可构成一个三角形． ∴C31C221
6＋C64＋C6C4＝116(个)．
其中含C21·C12
1点的三角形有C5＋C54＋C4＝36(个)． (2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，
∴共有C43122
6＋C6C6＋C6C6＝360(个)． - 4 -