1
①－②得，an＋1＝an(n≥2)，(6分)
2
111
又a2＝a1，所以an＋1＝an(n∈N*)，所以{an}是首项为2，公比为的等比数列，所以an＝
2221
n－2.(8分) 2
11－n?2??2??1?Sn－m2m
(3)由(2)得，Sn＝＝4?1－2n?， 由＜，得
1Sn＋1－m2m＋11－2
1
1－n?－m4??2?2n?4－m?－42m2m
＜m，即n＜，(10分)
1?2＋12?4－m?－22m＋1?41－2n＋1－m??
21
即n＞m，因为2m＋1＞0，所以2n(4－m)＞2， 2?4－m?－22＋1
＋
所以m＜4，且2＜2n(4－m)＜2m1＋4，(*)，因为m∈N*，所以m＝1或2或3.(12分) 当m＝1时，由(*)得，2＜2n×3＜8，所以n＝1；
当m＝2时，由(*)得，2＜2n×2＜12，所以n＝1或2； 当m＝3时，由(*)得，2＜2n＜20，所以n＝2或3或4， 综上，存在符合条件的所有有序实数对(m，n)为：(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,2)，(3,3)，(3,4)．(16分)
20．解题突破 利用导数求单调区间；根据导数的几何意义结合基本不等式以算代证；利用导数研究函数单调性、极值情况，根据三角形三边长的关系建立不等式组求解．
ax－?. 解 (1)函数f(x)的导函数f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝3(x＋a)??3?
a
因为a＜0，由f′(x)＜0，解得＜x＜－a.
3
a
，－a?.(3分) 所以函数y＝f(x)的单调递减区间为??3?
3
(2)当a＝0时，f(x)＝x＋2.
3
设在点A(x1，x31＋2)，B(x2，x2＋2)处的切线交于直线x＝2上一点P(2，t)． 因为y′＝3x2，所以曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为k＝3x21，
32
所以，在点A处的切线方程为y－(x1＋2)＝3x1(x－x1)．
332
因为切线过点P，所以t－(x1＋2)＝3x21(2－x1)，即2x1－6x1＋(t－2)＝0.
2
同理可得x32－6x2＋(t－2)＝0.(5分)
322
两式相减得2(x31－x2)－6(x1－x2)＝0.
2
即(x1－x2)(x21＋x1x2＋x2)－3(x1－x2)(x1＋x2)＝0.
2
因为x1－x2≠0，所以x21＋x1x2＋x2－3(x1＋x2)＝0. 即(x1＋x2)2－x1x2－3(x1＋x2)＝0.(7分)
x1＋x2?2x1＋x2?2
因为x1x2≤?，且x1≠x2，所以x1x2＜??2??2?
x1＋x2?2
从而上式可以化为(x1＋x2)2－??2?－3(x1＋x2)＜0，即(x1＋x2)(x1＋x2－4)＜0. 解得0＜x1＋x2＜4，即A，B两点的横坐标之和小于4.(9分)
(3)由题设知，f(0)＜f(1)＋f(1)，即2＜2(－a2＋a＋3)，解得－1＜a＜2.
11
又因为a＞0，所以0＜a＜2.(11分)
ax－?， 因为f′(x)＝3(x＋a)??3?aa
0，?时，f′(x)＜0，f(x)单调递减、当x∈?，1?，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 所以当x∈??3??3?
a?a53
所以当x＝时，f(x)有最小值f?＝－a＋2. ?3?327
???5?从而条件转化为?f?0?＜2－27a＋2，②
???－5a＋2?.③?f?1?＜2??27?
33
a?53
f?＝－a＋2＞0，①?3?27
33233
由①得a＜；由②得a＜ .再根据0＜a＜2得0＜a＜ .(13分)
33355510
不等式③化为a3－a2＋a－1＜0.
271010
令g(a)＝a3－a2＋a－1，则g′(a)＝a2－2a＋1＞0，所以g(a)为增函数．
279
?0，3?1
又g(2)＝－＜0，所以当a∈?3?时，g(a)＜0恒成立，即③成立． 275??
?0，3?所以所求a的取值范围为?3?.(16分)
5??
12