数列求和的基本方法与技巧
数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就几个方面来谈谈数列求和的基本方法和技巧。 一、利用常用求和公式求和（定义法）
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。
n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?n2、等比数列求和公式：Sn??a1(1?q)a1?anq
?(q?1)?1?q?1?qnn1123、 Sn??k?n(n?1) 4、Sn??k?n(n?1)(2n?1)
26k?1k?1n1325．Sn??k?[n(n?1)]
2k?11、 等差数列求和公式：Sn?例1 求和：x?x?x???x
23n解：1、当x=0时，Sn?0,
2、当x=1时，Sn?n,
x1?xnx?xn?1?3、当x?0,且x?1时，Sn?.
1?x1?xn?1k例2 已知log3x?，求?x。
log23k?1?11解：由log3x??log3x??log32?x?
log232?? 由等比数列求和公式得
11(1?n)x(1?x)22?1?1 Sn??xk ??11?x2nk?11?2nn二、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法。 例3 求1?11?111?????111????1之和。 ??n个1???1?解：由于111???k个111k?999???9?(10?1) （找通项及特征） ?????99k个1n个1∴ 1?11?111?????111????1 ?? 1
11111(10?1)?(102?1)?(103?1)?????(10n?1) （分组求和） 999911123n＝(10?10?10?????10)?(1??1??1??????1) ????99n个1＝
110(10n?1)n? ＝?910?191n?1＝(10?10?9n) 81?8例4 已知数列{an}：an?，求?(n?1)(an?an?1)的值。
(n?1)(n?3)n?111解：∵ (n?1)(an?an?1)?8(n?1)[?]（找通项及特征）
(n?1)(n?3)(n?2)(n?4)11?] （设制分组） ?8?[(n?2)(n?4)(n?3)(n?4)1111?)?8(?) （裂项） ?4?(n?2n?4n?3n?4???1111∴ ?(n?1)(an?an?1)?4?(?)?8?(?)（分组、裂项求和）
n?4n?4n?1n?1n?2n?1n?311113 ?4?(?)?8??
3443
三、分组求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。
?n1??1??21?????x?0,x?1,y?1? 例5、求和:??x??x????x?n?2??????y??y?y????111?解:原式=x?x2?x3???xn???y?y2???yn??
????x1?xn=
1?x??1?1???1?n?y?y? ??11?yx?xn?1yn?1= ?n?1n1?xy?y例6 求数列的前n项和：1?1,111?4,2?7,?,n?1?3n?2,? aaa111解：设Sn?(1?1)?(?4)?(2?7)?????(n?1?3n?2)
aaa将其每一项拆开再重新组合得
2
111?2?????n?1)?(1?4?7?????3n?2)aaa(3n?1)n(3n?1)n当a?1时，Sn?n?＝
2211?n(3n?1)na?a1?n(3n?1)na?当a?1时，Sn?＝ ?1a?1221?a例7 求数列{n(n?1)(n?2)}的前n项和。
Sn?(1?解：设ak?k(k?1)(2k?1)?2k3?3k2?k ∴ Sn?
?k(k?1)(2k?1)＝?(2kk?1k?1nn3n2nn3?3k2?k)
将其每一项拆开再重新组合得
Sn?2?k?3?k??k
?2(1?23?????n3)?3(12?22?????n2)?(1?2?????n)
n2(n?1)2n(n?1)(2n?1)n(n?1)?? ? 222n(n?1)2(n?2)?
2四、裂项求和法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。通项分解（裂项）如：
k?13k?1k?1sin1?（1）an?f(n?1)?f(n) （2）?tan(n?1)??tann? ??cosncos(n?1)111(2n)2111??（3）an? （4）an??1?(?)
n(n?1)nn?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?11111?[?] （5）an?n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)(6) an?n?212(n?1)?n1111 ?n??n??,则S?1?nn?1nnn(n?1)2n(n?1)2n?2(n?1)2(n?1)2111???? 1?22?3n?n?1?例8、求和：
分析：由an??n?1??n=n?1?n=1?1 1?n?n?1?n?n?1?n?n?1?n?n?1?nn?11??11?1??11??1???????????????
2??23?n?1nnn?1????解：原式=?1?=1???1n= n?1n?13
例9 求数列
11?2,12?31,???,1n?n?1,???的前n项和。
n?n?1111则 Sn? ??????1?22?3n?n?1 ＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n)
＝n?1?1 五．错位相减求和法
解：设an??n?1?n
34n?1???? 23n22211111分析：原式等价于2?1?3?2?4?3???n?n?1??n?1??n
222221其中an??n?1??n，象这种通项公式由等差与等比组成的数列，求它的前n项的和联系
2例10、求和：1?课本中等比数列前n项和公式的推导过程，可应用错位相减法. 解：令Sn?2?11111???1? ?3??4????n??n?1?123n?1n22222111111Sn? 2?2?3?3?4?4????n?n??n?1??n?1?2? 2222221111n?1?Sn?1?2?3???n?n?1 222221111n?1?Sn?2??2?3???n?1?n
22222122n?1?Sn?2?1?n?n
22n?3?Sn?3?n
21??Sn?2?1??1??1???2???2?n?1?????n?1
2n例11、求和：1?3a?5a2?7a3????2n?1?an?1?a?0?.
解：1、当a=1时，Sn?1?3?5????2n?1??2?1?2n?1?n?n2
2n?12、当a?1时，Sn?1?3a?5a????2n?1?a?1?1
aSn?a?3a2?5a3????2n?3?an?1??2n?1?an?2?
??1?a?Sn?1?2a?2a2??2an?1??2n?1?an
4
a1?an?1??1?a?Sn?1?2??2n?1?an
1?a???Sn?2a?an??1?a?2??1??2n?1?a1?an
六、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1?an).
012n例12 求证：Cn?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn?(n?1)2n
012n证明： 设Sn?Cn………………………….. ① ?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn 把①式右边倒转过来得
nn?110 （反序） Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn?????3Cn?Cnmn?m 又由Cn可得 ?Cn01n?1n Sn?(2n?1)Cn…………..…….. ② ?(2n?1)Cn?????3Cn?Cn01n?1n ①+②得 2Sn?(2n?2)(Cn?Cn?????Cn?Cn)?2(n?1)?2n（反序相加）
∴ Sn?(n?1)?2n
例13 求sin1??sin2??sin3??????sin88??sin89?的值。
解：设S?sin1?sin2?sin3?????sin88?sin89…………. ①
将①式右边反序得 S?sin89?sin88?????sin3?sin2?sin1……② （反序） 又?sinx?cos(90??x),sin2x?cos2x?1
①+②得 （反序相加）
2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?222222S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)?89 ∴ S?44.5
5