解
2－3x，x<0，??
(1)f(x)＝|x|＋2|x－1|＝?2－x，0≤x≤1，
??3x－2，x>1.
当x<0时，由2－3x≤8，得－2≤x<0；
当0≤x≤1时，由2－x≤8，得0≤x≤1；
10
当x>1时，由3x－2≤8，解得1 综上，不等式f(x)≤8的解集为?－2，3?.[5分] ??2a－3x，x<0，?? (2)因为f(x)＝|x|＋2|x－a|＝?2a－x，0≤x≤a， ??3x－2a，x>a. 可见f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增， 所以当x＝a时，f(x)取最小值a，所以a的取值范围是[6，＋∞)．[10分] 评分细则 (1)f(x)去绝对值得分段函数给2分；三种情况下的解集错一种扣1分，没有最后结论扣1分；(2)求出f(x)的单调性给至8分． 阅卷老师提醒 (1)含有绝对值式子的函数，实质上就是一个分段函数，根据解析式中每个绝对值取零时的自变量的值将定义域分成几段，分段去掉绝对值符号即可． (2)分段讨论时要注意不重不漏，讨论后要有最后总结性结论． 五、小题冲关 1．不等式|2x＋1|－2|x－1|>0的解集为________． ??1? 答案 ?x?x>4? ??? 1 解析 原不等式等价于|2x＋1|>2|x－1|?(2x＋1)2>4(x－1)2?x>. 4 2．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝ a＋b＋c20，则＝________. x＋y＋z1答案 2 解析 通过等式找出a＋b＋c与x＋y＋z的关系． 由题意可得x2＋y2＋z2＝2ax＋2by＋2cz，① ①与a2＋b2＋c2＝10相加可得 (x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝10， x－a＝a，?? 所以不妨令?y－b＝b， ??z－c＝c ??x－a＝b， ?或?y－b＝c，??? ??z－c＝z ??， ?? a＋b＋c1 则x＋y＋z＝2(a＋b＋c)，即＝. x＋y＋z2 3． 若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值为________． 答案 3 解析 (a＋b＋c)2＝(1×a＋1×b＋1×c)2 ≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3. 1 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立． 3 ∴(a＋b＋c)2≤3.故a＋b＋c的最大值为3. |x＋1| 4． 不等式≥1的实数解为__________． |x＋2|?3??答案 x|x≤－2且x≠－2?. ??|x＋1| 解析 ∵≥1，∴|x＋1|≥|x＋2|. |x＋2| ∴x2＋2x＋1≥x2＋4x＋4，∴2x＋3≤0. 3 ∴x≤－且x≠－2. 2 5． 若不等式x＋|x－1|≤a有解，则实数a的取值范围是______． 答案 [1，＋∞) ??2x－1 ?x≥1?， 解析 设f(x)＝x＋|x－1|，则f(x)＝? ?1 ?x<1?.? f(x)的最小值为1.所以当a≥1时，f(x)≤a有解． 6． 对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，记实数M的 最大值 是m，则m的值为________． 答案 2 解析 不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立， |a＋b|＋|a－b| 即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立， |a| 只要左边恒小于或等于右边的最小值． 因为|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，当且仅当(a－b)(a＋b)≥0时等号成 |a＋b|＋|a－b||a＋b|＋|a－b| 立，即|a|≥|b|时，≥2成立，也就是的最小值是2. |a||a| 六、专题限时规范训练 一、填空题 1． 不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为________． 答案 {x|x≥1} 解析 原不等式可化为： ????x≤－3，?－3 ∴x∈?或1≤x<2或x≥2.∴不等式的解集为{x|x≥1}． x＋yxy2． 设x>0，y>0，M＝，N＝＋，则M、N的大小关系为__________． 2＋x＋y2＋x2＋y 答案 M x＋yxyxy 解析 N＝＋>＋＝＝M. 2＋x2＋y2＋x＋y2＋x＋y2＋x＋y 3． 对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________． 答案 5 解析 ∵|x－1|≤1，∴－1≤x－1≤1，∴0≤x≤2. 又∵|y－2|≤1，∴－1≤y－2≤1，∴1≤y≤3， 从而－6≤－2y≤－2. 由同向不等式的可加性可得－6≤x－2y≤0， ∴－5≤x－2y＋1≤1，∴|x－2y＋1|的最大值为5. 4． 若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________． 答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞) 解析 －2x＋1 ?x≤－1?，?? ∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝?3 ?－1 ??2x－1 ?x≥2?， ∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解， 需满足|a|≥3，即a≤－3或a≥3. 二、解答题 5． 设不等式|2x－1|<1的解集为M. (1)求集合M； (2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小． 解 (1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得0 (2)由(1)和a，b∈M可知00， 故ab＋1>a＋b. ?1? 6． 若不等式?x＋x?>|a－2|＋1对于一切非零实数x均成立，求实数a的取值范围． ???1??解 ∵x＋x?≥2，∴|a－2|＋1<2， ?? ∴1 115 7．已知实数x，y满足：|x＋y|<，|2x－y|<，求证：|y|<. 3618 证明 因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|， 11 由题设知|x＋y|<，|2x－y|<， 362155 从而3|y|<＋＝，所以|y|<. 36618 8． 已知函数f(x)＝|x－a|. (1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值； (2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 解 方法一 (1)由f(x)≤3得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3. 又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}， ??a－3＝－1，所以?解得a＝2. ?a＋3＝5，? (2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)， －2x－1，x<－3，?? 于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝?5，－3≤x≤2， ??2x＋1，x>2. 所以当x<－3时，g(x)>5； 当－3≤x≤2时，g(x)＝5； 当x>2时，g(x)>5. 综上可得，g(x)的最小值为5. 从而若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为 (－∞，5]． 方法二 (1)同方法一． (2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|.设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)． 由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得g(x)的最小值为5. 从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为 (－∞，5]． 9． 已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|. (1)求不等式f(x)≤6的解集； (2)若关于x的不等式f(x)<|a－1|的解集非空，求实数a的取值范围． 解 (1)原不等式等价于 ?x>3，?2 ??2x＋1?＋?2x－3?≤6 ?－1≤x≤3，2或?2 ??2x＋1?－?2x－3?≤6 ?x<－1， 2或? ?－?2x＋1?－?2x－3?≤6. 3131解之得 (2)∵f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4. ∴|a－1|>4，解此不等式得a<－3或a>5. 111 10．设a，b，c为正实数，求证：3＋3＋3＋abc≥23. abc 111 证明 因为a，b，c是正实数，由算术—几何平均不等式可得3＋3＋3≥3 abc3111 ··， a3b3c31113即3＋3＋3≥abc. abc1113 所以3＋3＋3＋abc≥abc＋abc. abc33而abc＋abc≥2 abc＝23， abc· 当且仅当a＝b＝c且abc＝3时，取等号． 111 所以3＋3＋3＋abc≥23. abc