直线与二次曲线
直线与二次曲线的题型可分为四个部分解决: 1.弦长问题
例1.设椭圆6x2+2y2=12中有一内接三角形PAB,过O,P的直线的倾斜角为
?3,直线AP,BP的斜率符合kAP?kBP?0,
(1)试证过A,B的直线的斜率是定值; (2)求ΔPAB面积的最大值.
解:(1)将OP:y?3x代入6x2?2y2?12得P1(1,3),P2(?1,?3).
将y1?3?y2?3?0,x1?1y1?3?x2?1y2?2x1?1x2?132?0相乘得:kAB?2yB?yAxB?xA2?3.
(2)不妨设AB为:y?3x?b,代入6x?2y?12,得:6x?23bx?b?6?0
?|AB|?1?(3)|xA?xB|?216?43b ,P到AB的距离为:d?212|b|,
?S?APB?36(12?b)b22?3.此时b??6.
例2.已知点A(?3,0)和B(3,0),动点C到A,B两点的距离的差的绝对 值为2,
点C的轨迹与直线y=x－2交于D，E两点，求线段DE的长。 答案：(1)设点C（x，y），则|CA|－|CB|=±2
根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线，依题意，设其方程为：
x22
a?y22?1,由2a?2,2c?23,得a2?1,b2?2
x2?点C的轨迹方程是?y22?1
∵△＞0，∴直线与双曲线有两个交点D、E， 设D(x1，y1)，E（x2，y2），则x1+x2=﹣4，x1x2=﹣6…
?|DE|?(x1?x2)22?2y?x??1,得x2?4x?6?0(2)由?2??y?x?2?(y1?y2)2?2(x1?x2)2?4x1x2?45
2.对称问题
例3.在以O为原点的直角坐标系中，点A(4,-3)为ΔOAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|,且点B的坐
标大于零。
(1)求向量 AB 的坐标;
(2)求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程；
(3)是否存在实数a, 使抛物线y=ax-1上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在， 说明理由；若存在，求a的取值范围。
答案：(1)AB?{6,8} (2) (x-1)2?(y?3)2?10
(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2)为抛物线上关于直线?x1???y1???x1?x22?y2?x2y1?y222?x?x??2?1a 得?5?2a?x1x2?22a?
2
OB对称的两点,则
?2?0??2即x1,x2为方程x2?2ax?5?2a2a2?0的两个相异实根
32,故存在于是??4a2?45?2a2a2
2?0,得a?2
例4.给定椭圆C:x+4y= 4.(1)若A,B是曲线C上关于坐标轴不对称的任意相异两点,求这两
点的对称轴L在x轴上的截距t的取值范围;
(2)对于(1)中的t的取值范围内的to,过点M (to,0)作直线L,设L是曲线C上关于坐标轴不对称的两点A,B的对称轴,求直线L的斜率k的取值范围. 解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则L的方程为:y?3832y1?y2232??x2?x1y2?y1(x?x1?x22)
令y?0,得 t?(x1?x2)?(?4,4),故??t?
43k3(2)设直线L的方程为:y?k(x?to) (k?0),AB的中点为P(2to,to).
则(43to)?4(2k3to)?4,即 k22?9?4toto2或k?R,且k?0 ( to?0)
22?当to?0时,k?R,且k?0;当to?0 时,?9?4to|to|?k?9?4to|to| (k?0,|to|?32.
3.成比例线段
例5.椭圆E中心在原点O,焦点在x轴上,其离心率e?相交于A、B两点，且C分有向线段AB的比为2.? （Ⅰ）用直线l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积;? （Ⅱ）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程. 答案：（Ⅰ）设椭圆E的方程为
xa2223,过点C(?1,0) 的直线 L与椭圆 E
?yb22?1(a＞b＞0)，由e=
ca?23
∴a2=3b2 故椭圆方程x2+3y2=3b2 1分
设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C（－1，0）分有向线段AB的比为2，
?x1?2x2??1??3??x2?3y2?3b2?x1?1??2(x2?1)y?2y2?1???0?y??2yy?k(x?1)23∴?即?1 由?消去y整理并化简得
(3k+1)x+6kx+3k－3b=0 由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）,B(x2,y2)?两点?
??Δ?36k4?4(3k2?1)(3k2?2b2)?0?26k??x1?x2??23k?1?22?3k?3b?x1x2?23k?1?
22222
而S△OAB?12|y1?y2|?12|?2y2?y2|?32|y2|?32|k(x2?1)|?32|k||x2?1|
⑥
223|k|由①④得:x2+1=－3k?1，代入⑥得：S△OAB=2(k?0)
3k?1（Ⅱ）因S△OAB=
3|k|3k2?1?33|k|?1|k|?323?32,当且仅当k??33,S△OAB取得最大值
此时x1+x2=－1,又∵
x1?2x23=－1 ∴x1=1,x2=－2 将x1,x2及k2=代入⑤得3b2=5
31∴椭圆方程x2+3y2=5
例6.已知曲线M是由方程:(x?c)2?y2?|3?(1)判断曲线的形状, 简单说明理由 ；
(2)若直线 y?223(x?c)交M于不同两点c3x|的点所组成,其中c为正常数.
P,Q,它们的中点为R,且xR??12,
求曲线M的方程;
(3)对于(2)中所求的曲线 M,过点A(?2,0) 的直线交M于B,C,交直线x??92于
点D,点A,D分BC所成的比分别为2 ?1,?2,求证:?1??2?0.
2解:(1)原方程可化为:(x?c)?y|x?9c|?c3,当c?3时,M为直线y?0,
当c>3时,为双曲线;当0 (2)此时曲线M方程为:x29?y28?1 (3)略. 4.与向量有关 例7.设x、y∈R， i、j为直角坐标平面内x、y 轴正方向上的单位向量，若向量 a=xi+(y+2)j,b=xi+ (y-2)j,｜a｜+｜b｜=8.(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程； (2)过点(0，3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设OP?OA?OB,是否存在 这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形?若存在，求出直线l的方程； 若不存在，试说明理由. 答案：(1)解法一：∵a=xi+(y+2)j, b=xi+(y-2) j， 且｜a｜+｜b｜=8，∴点M(x,y)到两个定点 F1(0，-2)，F2(0，2)的距离之和为8. ?轨迹C为以F1F2为焦点的椭圆,方程为:x212?y216?1(2)∵l过y轴上的点(0，3)， 若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点. ∵=0，∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾.∴直线l的斜率存在， 设l方程为y=kx+3，A(x1,y1),B(x2,y2) ?y?kx?318k21?2222由?xy消去得:(4?3k)x?18kx?21?0?x1?x2??,xx??.1222??14?3k4?3k?16?12 此时，Δ=(18k)-4(4+3k)(-21)＞0恒成立， ?OP?OA?OB22 ∵∴四边形OAPB是平行四边形. ?OB?0 若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即OA∵OA=(x1,y1)，OB=(x2,y2)，x1x2+y1y2=0 2即(1?k)x1x2?3k(x1?x2)?9?0 得k??2 2 54,故存在直线为:y??54x?3 例8.椭圆x+2y=8和点P(4,1),过P作直线交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2),在AB上 取点Q适合条件:AP?QB??PB?AQ,求Q点的轨迹方程式 x1??x2?x1??x2??4x????1???1?? ?解:设Q(x,y),令AQ??QB,则? y??yy??y212?1?1?y???1???1???对应式相乘,得x1??x21??22222?4x,y1??y21??222222?y ?4x?2y?11??2(x1?2y1??x2???2y2)?22211??2(8?8?)?8. 2即Q点轨迹方程是:2x+y=4 (在椭圆内部的部分,不含端点) 练习 1．已知抛物线C：ｙ=-0.5x2+6,点P（2，4），A、B在抛物线上，且直线PA、PB的 倾斜角互补；（Ⅰ）证明：直线AB的斜率为定值；? （Ⅱ）当直线AB在ｙ轴上的截距为正数时，求△PAB的面积S的最大值及此时 直线AB的方程. 答案：(Ⅰ)易知点P在抛物线C上,设PA的斜率为k,则直线PA的方程是ｙ-4=k(x-2) 代入y??12x2?6 中,整理得:x2?2kx?4(k?1)?0 此时方程应有根xA及2，由韦达定理得：2xA=-4(k+1)?∴xA=-2(k+1)? ∴ｙA=k(xA-2)+4=-2k-4k+4?∴A(-2(k+1),-2k-4k+4)? 由于PA与PB的倾斜角互补，故PB方程的斜率为-k.? 同理可得：B(-2(-k+1),-2k2+4k+4)?∴kAB=2 2 2