∴当x?1时，G(x)?G(1)?0 ∴x?lnx 即综上所述，
1a?b?lna?bba?bb?ln?a?bba?bb
.………………………………………………14分
8．(本小题满分12分)
如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，?C?90?，
ByA、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD?3DC，
的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、
BODCx!ABCD
两点．
(1) 求双曲线E的方程；
(2) 若一过点P(m,0)（m为非零常数）的直线l与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且
????????MP??PN，问在x轴上是否存在定点G，使
?????????????BC?(GM??GN)？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1) 设双曲线E的方程为
xa22?yb22?1(a?0,b?0)，
yA则B(?c,0),D(a,0),C(c,0)．
由BD?3DC，得c?a?3(c?a)，即c?2a．
?|AB|?|AC|?16a,?∴?|AB|?|AC|?12?4a, ?|AB|?|AC|?2a.?222BODCx （3分）
解之得a?1，∴c?2,b?3． ∴双曲线E的方程为x?2y23?1． （5分）
．
y?????????????(2) 设在x轴上存在定点G(t,0)，使BC?(GM??GN)设直线l的方程为x?m?ky，M(x1,y1),N(x2,y2)． 由MP??PN，得y1??y2?0． 即???y1y2B????????GO ① （6分）
CPNx????∵BC?(4,0)，
M?????????GM??GN?(x1?t??x2??t,y1??y2)， ?????????????∴BC?(GM??GN)?x1?t??(x2?t)．
即ky1?m?t??(ky2?m?t)． ② 把①代入②，得
2ky1y2?(m?t)(y1?y2)?0
（8分）
③ （9分）
把x?m?ky代入x?2y23?1并整理得
2(3k?1)y?6kmy?3(m?1)?0
22其中3k2?1?0且??0，即k2? y1?y2??6km3k?12213且3k2?m2?1． ．
（10分）
,yy?123(m?1)3k?12代入③，得
6k(m?1)3k?122?6km(m?t)3k?12?0，
化简得 kmt?k． 当t?1m时，上式恒成立．
1m?????????????,0)，使BC?(GM??GN)因此，在x轴上存在定点G(9．(本小题满分14分)
． （12分）
已知数列?an?各项均不为0，其前n项和为Sn，且对任意n?N*都有(1?p)Sn?p?pan（p为大于1的常数），记f(n)?1?Cna1?Cna2???Cnan2Snn12n．
(1) 求an；
(2) 试比较f(n?1)与
p?12pf(n)的大小（n?N*）；
?p?1?p?1??1???p?1?2p???2n?1(3) 求证：(2n?1)f(n)剟f(1)?f(2)???f(2n?1)?（n?N*）． ?，??解：(1) ∵(1?p)Sn?p?pan，
①
②
∴(1?p)Sn?1?p?pan?1． ②－①，得
(1?p)an?1??pan?1?pan，
即an?1?pan．
（3分）
在①中令n?1，可得a1?p．
∴?an?是首项为a1?p，公比为p的等比数列，an?pn．
（4分）
(2) 由(1)可得Sn?p(1?p)1?pn?p(p?1)p?1n．
12n122nnnn1?Cna1?Cna2???Cnan?1?pCn?pCn???Cnp?(1?p)?(p?1)．
∴f(n)?1?Cna1?Cna2???Cnan2Snp?1p?(p?1)2n?1n?112nn?p?1p?(p?1)nnn2(p?1)， （5分）
f(n?1)?(pn?1n?1?1)n?1．
，且p?1，
而
p?12pf(n)?p?1p?(p?1)2(pn?1?p)∴pn?1?1?pn?1?p?0，p?1?0． ∴f(n?1)?p?12p2pf(n)，（n?N*）．
p?12p
f(n)p?12p （8分）
(3) 由(2)知 f(1)?p?1，f(n?1)?p?12p，（n?N*）．
)f(n?2)???(22∴当n…2时，f(n)?f(n?1)?(p?12p2n?1)n?1f(1)?(p?12p)n．
∴f(1)?f(2)???f(2n?1)?p?1?p?1??p?1?????????2p?2p??2p?2n?1
?p?1?p?1???1???p?1?2p?????， ?? （10分）
（当且仅当n?1时取等号）．
另一方面，当n…2，k?1,2,?,2n?1时，
k2n?k?p?1?(p?1)(p?1)f(k)?f(2n?k)???kk? 2n?k2n?kp?2(p?1)2(p?1)?…p?1p?2?2n?k2n?k kk2(p?1)2(p?1)nk(p?1)k(p?1)2n?kp?12(p?1)??np21(p?1)(p2n?k?1)
p?12(p?1)??np2n1p2n?p?pk2n?k?1．
∵pk?p2n?k…2pn，∴p2n?pk?p2n?k?1?p2n?2pn?1?(pn?1)2． ∴f(k)?f(2n?k)…2n?1p?1p?2(p?1)nnn2(p?1)?2f(n)2n?1，（当且仅当k?n时取等号）．（13分）
．（当且仅当n?1时取等号）．
∴?f(k)?k?1122n?1?[f(k)?k?1f(2n?k)]…?f(n)?(2n?1)f(n)k?1综上所述，(2n?1)f(n)剟?f(k)k?12n?1?p?1?p?1??1???p?1?2p???2n?1?（n?N*）．（14分） ?，??