乌鲁木齐地区2012年高三年级第一次诊断性测验
文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
题号 选项 1 B 2 A 3 B 4 A 5 C 6 A 7 B 8 B 9 B 10 C 11 D 12 D 1．选B.【解析】∵eUB??2,4,5,7?，∴A?(eUB)??4,5?． 2．选A.【解析】
2i1?i?2i?1?i???1?i．
14?1?i??1?i?3．选B.【解析】根据题意，它是一个圆柱和一个的球的组合体.
4．选A.【解析】由三角函数定义得点P?cos?,sin??，它在直线5x?5y?1?0上， ∴5cos??5sin??1?0，即cos??sin??15，两边平方，化简得sin2???2425.
5．选C.【解析】作出可行区域，如图，z?x?y???3,3?.
5?a1?a5?29?a1?a9?26．选A. 【解析】∵S5??5a3，S9??9a5，
∴S5:S9?5a3:9a5?1:3.
7．选B.【解析】f?x??a?bx2+?b2?a2?x?a?b，当a?b时，f?x???b2?a2?x 未必是一次函数，但当f?x?为一次函数时，有a?b且a?b．
1???1?4???1??1e8．选B.【解析】由几何概型知P?1x?25．
9． 选B.【解析】∵x?0，且y??，∴当x??0,e?，y??0，函数递增；x??e,???，
xe函数y?lnx?y??0，函数递减.而x?e时y?0，∴的零点只有1个，即x?e.
10．选C.【解析】与圆相切且在两坐标轴上截距相等的直线可分为两类：①截距为0时，可
设直线方程为y?kx，由2kk?12?1，解得k??33；②截距不为0时，可设直线方
程为x?y?a，由2?a2?1，解得a?2?2．因此符合题意的直线共有4条．
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11．选D.【解析】y?2sin?3x????????2cos3x，其图象向左平移?个单位得到函数2?y??2cos??3?x???????2cos?3x?3??，要使其为奇函数，只需cos?3???0，即3???2?k??k?Z?，∴???6?k?3?k?Z?，又?当k?0时，?取最小?0，∴
值
?6．
12．选D.【解析】如图，∵AB?AC，∴C?B，在AB上取一点D
使BD?CD?x，则题中的角?C?B?可用?ACD表示．
2?x??3?x?222∴在△ACD中，cos?C?B??2?2?x?78，
解得x?2，于是cosA?
14，sinA?154．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13． 填3.【解析】∵2a?8，
ca?54，∴c?5，b?3，不妨设双曲线方程为
x216?y29?1，
由对称性知，焦点?5,0?到渐近线3x?4y?0的距离d?3． 14．填2012.【解析】经过n次循环，a?2n，b?3n?3，∴n?11时，
c?211??3?11?3??2012．
?15．填1.【解析】由题知：O是A1C的中点，又?A1OB?60，∴在Rt△A1BC中，
?BA1C?60，∴A1B??BCtan60??ADtan60??3，AA1?A1B?AB322?9?8?1．
16．填
278.【解析】f??1.5??f??0.5??f?0.5??f?1.5??1.5?278?3.375．
三、解答题（共6小题，共70分）
17．（本小题满分12分）
黑球记为a，白球记为b1,b2，红球记为c1,c2,c3，按游戏规则可以表示为：
?a,b1?，?a,b2?，?a,c1?，?a,c2?，?a,c3?，?b1,a?，?b1,b2?，?b1,c1?，?b1,c2?，
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?b1,c3?，?b2,a?，?b2,b1?，?b2,c1?，?b2,c2?，?b2,c3?，?c1,a?，?c1,b1?，?c1,b2?，?c1,c2?，?c1,c3?，?c2,a?，?c2,b1?，?c2,b2?，?c2,c1?，?c2,c3?，?c3,a?，?c3,b1?，?c3,b2?，?c3,c1?，?c3,c2?．则基本事件共30个，
∴（1）“甲、乙配对成功”的概率P?830?415； …6分
1830?35 （2）甲、乙两人中至少有一人摸到白球的概率P?18．（本小题满分12分）
． …12分
（1）∵三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱，∴AB?AA1．
又AB?AC，∴AB?平面ACC1A1，
而A1C?平面ACC1A1，∴AB?A1C； …6分 （2）
?AA1=AC?3AB?3，∴A1B?BC?1?2??32?2，A1C?6．
102 取A1C的中点D，连结BD，则BD?A1C，∴BD??6?22????2????122．
∴S?ABC?112A1C?BD?12?6?102?152，S?ABA?S?ABC?1?1?3?32，
S?AA1C?12?3?3?32，故 S三棱锥A?ABC?13+32+152． …12分
19．（本小题满分12分）
????????????????（1）由已知AB?BC?AB?BCcos??1，
????????∴AB?BC?????0，∴???0,?， cos??2?1?????1???AB?BCsin????又S?2??12cos??1?sin??12tan?，
由已知
12?S?32，∴?2112tan??32，即1?tan??3，
而???0,????2??，所以???????,?． …6分 ?43?第 3 页 共 7 页
??????????3???1???3（2）由已知S?， AB?AB?BCsin??????BC?422sin?????????????????????2代入AB?BC?AB?BCcos??1中，得AB?tan?．
3在△ABC中，由余弦定得： ????2????2????2????????????2????2AC?AB?BC?2AB?BCcos??????AB?BC?2
?49tan??294sin?2?2?249tan??294tan?2?2?94
9252339?2?2≥，当且仅当， 2??tan????tan????4432tan?32tan?4??????5即tan??时，等号成立，此时AC的最小值是． …12分
223
20.（本小题满分12分）
（1）?点0,3不满足y?2px，∴0,3在椭圆
??2??xa22?yb22?1上，∴b?3，
2由椭圆性质知：y≤b?3，而22??1?3，∴点?,22?在抛物线上，
?2?由22??2?2p?12，解得 p?8．
?3?????2?32又点?1,???13??只能在椭圆上，∴?2a2??1，∴a?4，
2∴椭圆的方程为
x24?y23?1，抛物线的方程为y?16x． …6分
2（2）当直线PQ的斜率不存在时，P、Q两点关于x轴对称，显然有
?PF1F2??QF1F2 成立；
当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y?k?x?1?且k?0，
??y?k?x?1?,??y?16x,2由? 消去y得：k2x2?2?k2?8?x?k2?0，
16k2设P?x1,y1?，Q?x2,y2?，则x1?x2?2?而直线PF1、QF1的斜率分别为kPF?1,x1x2?1．
y1x1?1?k?x1?1?x1?1，kQF?1k?x2?1?x2?1．
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于是 kPF?kQF?11k?x1?1?x1?1?k?x2?1?x2?1?x1?1??x2?1???x1?1??x2?1? ?k?x1?1??x2?1? ?2kx1x2?1?x1?1??x2?1??0．
不妨设kPF?tan?PF1F2?y1?0?，则kQF1?tan????QF1F2?，
1∴tan?PF1F2??tan????QF1F2??tan?QF1F2．
则?PF1F2??QF1F2． …12分
21.（本小题满分12分） （1）显然x?a4，因此
a4?1???,1?，∴a?或a?4．
34?3?f??x???a?4x?a?2??x???1??． ?3,1??????1???当a?0时，易知f??x??0，或f??x??0，则f?x?在?,1?上单调．所以
3104?1?a?1a?，解得，或（舍去）． ?f1????33?3?14由题意f?当a?0时，f?x??不合题意．
x4x?1综上：a?1，∴f?x?的解析式为f?x??（2）由（1）知：f??x???1． …6分
?1?,1?上单调递减，则 ?3??4x?1?2?0，于是f?x?在??113?f?1?≤f?x?≤
?1?f???1，即f?3??x????,1?． ?3?13由题意可知：即要使x??0,1?时满足gmin?x?≤
22，且gmax?x?≥1．
而g??x??3x?3b≥0，故g?x?在?0,1?上单调递增． ∴gmin?x??g?0??2b≤解得 b≤?
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13，且 gmax?x??g?1??1?3b?2b≥1．
223，或0≤b≤
16． …12分